[论文解读] Surfaces with involution and Prym constructions

Mingmin Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文通过分析具有对合的曲面，建立了一套关于三次四次曲面及 $\mathbb{P}^3$ 上的二次锥面丛的 Prym 理论框架，表明这些四次曲面的霍奇结构、查沃群与第二布劳尔群，与对应线曲面的相应不变量的 Prym 部分同构。关键结果是，这些不变量可通过曲面的 $σ$-反对称上同调与查沃群完全恢复，布劳尔群中可能存在 2-挠阻塞。

ABSTRACT

An involution on a surface induces involutions on the cohomology, the Chow group and the Brauer group of the surface. We give a detailed study of those actions. We show that the odd part of these groups can be used to describe the geometry of cubic fourfolds and conic bundles over $\mathbb{P}^3$.

研究动机与目标

• 发展一种 Prym 理论方法，用于研究三次四次曲面及 $\mathbb{P}^3$ 上的二次锥面丛的霍奇结构、查沃群与布劳尔群。
• 分析光滑射影曲面 $S$ 上对合 $σ$ 在上同调、查沃群与布劳尔群上的作用，其中 $H_1(S,\mathbb{Z})=0$。
• 证明四次曲面的原始上同调与相关代数周期，作为线曲面上相应不变量的 Prym 部分出现。
• 识别出 $\mathrm{Br}_2(X)$ 中一个可能的 2-挠子群 $K$，该子群未被 Prym 构造捕获，并研究其在三次四次曲面情形下是否与所选直线无关。

提出的方法

• 将具有对合的阿贝尔群的 Prym 部分定义为 $\mathrm{Pr}(\Lambda,\sigma) = \mathrm{Im}(\sigma - 1)$，并将其应用于曲面 $S$ 的上同调、查沃群与布劳尔群，其中 $S$ 配备对合 $\sigma$。
• 以三次四次曲面 $X$ 中与一般直线 $l$ 相交的直线曲面 $S_l$ 作为几何输入，其中 $σ$ 由直线剩余交换诱导。
• 对于二次锥面丛 $f:X\to\mathbb{P}^3$，将 $S$ 定义为参数化断裂二次曲线中两条直线的曲面，其中 $σ$ 由交换两条直线诱导。
• 在 $X$ 与 $S$ 之间构造阿贝尔-雅可比与柱面同态 $\Phi = p_*q^*$ 与 $\Psi = q_*p^*$，并证明 $\Phi \circ \Psi = \sigma - 1$。
• 证明 $Φ$ 诱导一个同构 $\mathrm{H}^4(X,\mathbb{Z})_{\mathrm{prim}} \cong \mathrm{Pr}(M^\perp, \sigma)(-1)$，且与双线性形式相容。
• 证明 $\mathrm{A}_1(X) \cong \mathrm{Pr}(\mathrm{A}_0(S), \sigma) \oplus \text{2-挠}$，且 $\mathrm{Br}_2(X)$ 嵌入一个短正合列，其中包含 $\mathrm{Pr}(\mathrm{Br}(S), \sigma)$ 与一个 2-挠子群 $K$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从具有对合的线曲面的上同调的 Prym 部分重构三次四次曲面的霍奇结构？
• RQ2 三次四次曲面或二次锥面丛的查沃群是否作为相关曲面查沃群的 Prym 部分出现？
• RQ3 在 $\mathrm{Br}_2(X)$ 中的 2-挠子群 $K$ 的作用是什么？在三次四次曲面情形下，它是否与所选直线无关？
• RQ4 在何种条件下，四次曲面的布劳尔群可被曲面布劳尔群的 Prym 部分完全捕获？
• RQ5 在二次锥面丛与三次四次曲面情形下，曲面 $S$ 是否自动满足 $\mathrm{H}_1(S,\mathbb{Z})=0$？

主要发现

• 三次四次曲面 $X$ 的原始上同调同构于 $H^2(S,\mathbb{Z})$ 中子模 $M$ 的正交补的 Prym 部分，且 $Φ: \mathrm{H}^4(X,\mathbb{Z})_{\mathrm{prim}} \to \mathrm{Pr}(M^\perp, \sigma)(-1)$ 是一个与交形式相容的同构。
• 四次曲面的查沃群 $\mathrm{A}_1(X)$ 同构于 $\mathrm{A}_0(S)$ 的 Prym 部分，模去一个 2-挠因子，且 $Φ$ 被识别为到第一因子的投影。
• 第二布劳尔群 $\mathrm{Br}_2(X)$ 嵌入一个短正合列 $0 \to K \to \mathrm{Br}_2(X) \to \mathrm{Pr}(\mathrm{Br}(S), \sigma) \to 0$，其中 $K = \mathrm{H}^1(G, T^2(S))$，且当 $X$ 为非常一般时 $K$ 平凡。
• 在三次四次曲面情形下，2-挠阻塞 $K$ 与所选一般直线 $l$ 的选择无关，表明该阻塞具有典范性。
• Prym 格 $P = \mathrm{Pr}(M^\perp, \sigma)$ 的行列式不被 2 整除，从而确保同构 $\Phi: \mathrm{H}^4(X,\mathbb{Z})_{\mathrm{prim}} \to P(-1)$ 中双线性形式的相容性。
• 二次锥面丛情形推广了三次四次曲面情形，因为沿直线的三次四次曲面的爆破得到一个具有相同线曲面与 10 次退化除子（含 16 个节点的五次曲面）的二次锥面丛。