[论文解读] Surfaces with parallel mean curvature in $\mathbb{C}P^n imes\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}H^n imes\mathbb{R}$

Dorel Fetcu, Harold Rosenberg|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文为余弦辛空间形式中具有平行平均曲率向量的曲面引入了一种全纯二次微分，特别关注 $\mathbb{C}P^n \times \mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}H^n \times \mathbb{R}$。证明了在这些空间中，非极小的反不变 pmc 2-球面位于一个4维空间形式与 $\mathbb{R}$ 的乘积中，并建立了余维数约化定理，表明此类曲面分别位于维度至多为11或5的子流形中。

ABSTRACT

We consider surfaces with parallel mean curvature vector (pmc surfaces) in $\mathbb{C}P^n imes\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}H^n imes\mathbb{R}$, and, more generally, in cosymplectic space forms. We introduce a holomorphic quadratic differential on such surfaces. This is then used in order to show that the anti-invariant pmc $2$-spheres of a $5$-dimensional non-flat cosymplectic space form of product type are actually the embedded rotational spheres $S_H^2\subset\bar M^2 imes\mathbb{R}$ of Hsiang and Pedrosa, where $\bar M^2$ is a complete simply-connected surface with constant curvature. When the ambient space is a cosymplectic space form of product type and its dimension is greater than $5$, we prove that an immersed non-minimal non-pseudo-umbilical anti-invariant $2$-sphere lies in a product space $\bar M^4 imes\mathbb{R}$, where $\bar M^4$ is a space form. We also provide a reduction of codimension theorem for the pmc surfaces of a non-flat cosymplectic space form.

研究动机与目标

• 扩展在高余维数和非欧几里得环境空间中 pmc 曲面的研究，特别是复几何与双曲几何乘积空间中的情形。
• 将 cmc 曲面理论中使用的全纯二次微分方法推广至余弦辛空间形式中的 pmc 曲面。
• 对 $\mathbb{C}P^n\times\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}H^n\times\mathbb{R}$ 中非极小的反不变 pmc 2-球面进行分类，证明其位于低维乘积空间中。
• 为非平坦余弦辛空间形式中的 pmc 曲面建立余维数约化定理，将环境空间的维度限制在至多11或5。

提出的方法

• 在余弦辛空间形式中的 pmc 曲面上引入一个全纯二次微分 $Q$，证明当平均曲率向量平行时，其 $(2,0)$-部分为全纯。
• 利用 Ricci 方程和几乎复结构 $\varphi$ 的性质，分析特征向量场 $\xi$ 的法向与切向分量。
• 应用平行子丛与不变子流形的理论，证明 $T\Sigma^2 \oplus L$（其中 $L$ 是法丛的子丛）是平行且在曲率算子下不变的。
• 利用 $\varphi$ 保持与 $T\Sigma^2 \oplus L$ 正交的性质，构造一个维度至多为5的反不变、平行且不变的子流形。
• 结合文献 [10] 和 [14] 的结果，将环境空间的维度约化至至多5，适用于非伪脐点的反不变 pmc 曲面，且 $Q$ 与 $Q'$ 的 $(2,0)$-部分为零。
• 应用 Alencar、do Carmo 与 Tribuzy [5] 的分类结果，识别出 $\bar{M}^4(\frac{\rho}{4})\times\mathbb{R}$ 中嵌入的旋转 cmc 2-球面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}P^n \times \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}H^n \times \mathbb{R}$ 中，非极小的反不变 pmc 2-球面在何种条件下位于低维乘积空间中？
• RQ2 是否可以为余弦辛空间形式中的 pmc 曲面定义全纯二次微分？其 $(2,0)$-部分在何种条件下为全纯？
• RQ3 非平坦余弦辛空间形式中，非极小 pmc 曲面可浸入的最大余维数是多少？
• RQ4 在 $M^n(\rho)\times\mathbb{R}$ 中，非极小非伪脐点的反不变 pmc 曲面是否必然位于一个4维空间形式与 $\mathbb{R}$ 的乘积中？
• RQ5 $M^n(\rho)\times\mathbb{R}$ 中是否存在非极小非伪脐点的恰当斜率 pmc 2-球面？

主要发现

• $Q$ 的 $(2,0)$-部分在余弦辛空间形式中的 pmc 曲面上为全纯，为分类提供了关键工具。
• 在 $M^2(\rho)\times\mathbb{R}$ 中，非极小的反不变 pmc 2-球面是嵌入的旋转 cmc 2-球面 $S_H^2 \subset \bar{M}^2(\frac{\rho}{4})\times\mathbb{R}$，其中 $\bar{M}^2(\frac{\rho}{4})$ 是具有常曲率 $\frac{\rho}{4}$ 的完备单连通曲面。
• 在维度大于5的环境中，$M^n(\rho)\times\mathbb{R}$ 中非极小非伪脐点的反不变 pmc 2-球面位于 $\bar{M}^4(\frac{\rho}{4})\times\mathbb{R}$ 中，即一个4维空间形式与 $\mathbb{R}$ 的乘积。
• 在非平坦余弦辛空间形式的乘积型环境中，非极小 pmc 曲面位于维度至多为11的全测地不变子流形中，除非其为伪脐点。
• 当 $Q$ 与 $Q'$ 的 $(2,0)$-部分为零时，$M^n(\rho)\times\mathbb{R}$ 中非极小非伪脐点的反不变 pmc 曲面位于维度至多为5的全测地反不变子流形中。
• 在 $M^n(\rho)\times\mathbb{R}$ 中不存在非极小非伪脐点的恰当斜率 pmc 2-球面，因为此类曲面将与 [17] 中关于复空间形式的结果矛盾。