[论文解读] Surgery formula for Seiberg--Witten invariants of negative definite plumbed 3-manifolds

Gábor Braun, András Némethi|ArXiv.org|Apr 24, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 12

一句话总结

本文为负定图化有理同调3-球面的Seiberg–Witten不变量建立了手术公式，将通过图化构造得到的3-流形的不变量表示为子图不变量与由图化图导出的有理函数的组合。关键结果通过结合该公式与Okuma的递推关系，证明了对分支-商奇点的等变Seiberg–Witten不变量猜想，将拓扑不变量与Hilbert级数的周期常数联系起来，从而关联到几何亏格。

ABSTRACT

We derive a cut-and-paste surgery formula of Seiberg--Witten invariants for negative definite plumbed rational homology 3-spheres. It is similar to (and motivated by) Okuma's recursion formula [arXiv:math.AG/0610464, 4.5] targeting analytic invariants of splice quotient singularities. The two formulas combined provide automatically a proof of the equivariant version [arXiv:math.AG/0310084, 5.2(b)] of the `Seiberg--Witten invariant conjecture' [arXiv:math.AG/0111298] for these singularities.

研究动机与目标

• 为负定图化有理同调3-球面的Seiberg–Witten不变量开发一种剪切-粘贴手术公式。
• 将图化3-流形的拓扑不变量与表面奇点的解析不变量联系起来。
• 通过结合手术公式与Okuma的递推关系，为分支-商奇点的等变Seiberg–Witten不变量猜想提供新证明。
• 将与图化图相关的有理函数的周期常数表达为相应奇点的几何亏格。
• 通过在Seifert流形与手术3-流形上的显式计算，展示手术公式的算术性质。

提出的方法

• 通过Seiberg–Witten不变量、Reidemeister–Turaev torsion与Casson–Walker不变量之间的关系推导手术公式。
• 该公式将图化3-流形Σ的Seiberg–Witten不变量表示为有理函数Hσ,v在t=1处的多项式部分与子图Γi的不变量之和。
• 有理函数Hσ,v被定义为Weil型扭曲Zeta函数，其多项式部分Hσ,v^pol通过次数比较提取。
• 该方法依赖于c1² + |V(Γ)|、Reidemeister–Turaev torsion与Casson–Walker不变量的可加性公式。
• 对于Seifert流形，函数Hσ,v被证明与奇点的分次坐标环的Hilbert级数一致。
• 计算并证明了Hσ,v的周期常数等于奇点的几何亏格pg，尤其针对典范Spin c结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为负定图化3-流形的Seiberg–Witten不变量构造一个手术公式，使其推广已知的奇点递推公式？
• RQ2 有理函数Hσ,v的周期常数与相应表面奇点的几何亏格之间有何关系？
• RQ3 手术公式能否用于证明分支-商奇点的Seiberg–Witten不变量猜想？
• RQ4 Seifert流形Σ(a,b,c)的Seiberg–Witten不变量在图化图及其不变量下的显式表达式是什么？
• RQ5 手术公式在限制到子图时的行为如何？哪些不变量得以保持？

主要发现

• 手术公式(1.0.3)将图化3-流形Σ的Seiberg–Witten不变量表示为Hσ,v在t=1处的多项式部分与子图Γi的不变量之和。
• 对于典范Spin c结构，公式简化为sw_can(Σ) + (c1(σ_can)² + |V(Γ)|)/8 = -pg，从而证明了加权齐次奇点的Seiberg–Witten不变量猜想。
• H_can,v的周期常数被证明等于奇点的几何亏格pg，其显式公式为pc H_can,v = ∑_{l≥0} max(0, -1 + l b_v - ∑_i ⌊-l ω_i / α_i⌋)。
• 对于Seifert流形Σ(a,b,c)，H_can,v的周期常数等于顶点为(0,0,0)、(a,0,0)、(0,b,0)、(0,0,c)的四面体内部格点数，可用Dedekind和表示。
• 该公式在S³_{-d}(K)手术流形上得到验证，通过Hσ,v的周期常数恢复了[15, 4.3]中的已知结果。
• 该手术公式与Floer同调的手术精确三角形不同，因其固定单个Spin c结构及其延拓，避免了在多个结构间的混合。