[论文解读] Surgery operations to fold maps to construct fold maps whose restrictions to the singular sets may not be embeddings

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文引入了新的手术操作，用于在光滑流形上构造折痕映射，其奇异集上的限制可能不是嵌入映射，尽管它仍是余维数为一的光滑浸入。关键贡献在于显式构造出其Reeb空间继承特定上同调环结构的折痕映射，从而通过奇点理论与稳定映射技术实现对源流形的更深层次代数拓扑分析。

ABSTRACT

Constructing Morse functions and their higher dimensional versions or fold maps is fundamental, important and challenging in investigating the topologies and the differentiable structures of differentiable manifolds via Morse functions, fold maps and more general generic maps. It is one of important and interesting branches of the singularity theory of differentiable maps and applications to geometry of manifolds. In this paper we present fold maps with information of cohomology rings of their Reeb spaces. Reeb spaces are defined as the spaces of all connected components of all preimages, and in suitable situations inherit topological information such as homology groups and cohomology rings of the manifolds. Previously, the author demonstrated construction of fold maps in various cases : key methods are surgery operations to manifolds and maps and in this paper, we present more useful surgery operations and by them we construct new fold maps. More precisely, fold maps with singular value sets with crossings: the singular value set of a smooth map is the image of the set of all singular points and note that for fold maps, the set of all singular points are closed submanifolds without boundaries and the restrictions to them are immersions of codimension 1.

研究动机与目标

• 开发用于在光滑流形上构造具有可控奇异集行为的折痕映射的新手术操作。
• 研究折痕映射在奇异集上的限制不一定是嵌入映射的情况，突破标准浸入假设的限制。
• 显式构造出其Reeb空间携带特定上同调环结构的折痕映射，从而与源流形的拓扑建立联系。
• 通过允许奇异集限制中的法向交叉，推广先前关于Reeb空间不变量的结果。
• 提供一个框架，用于在分段光滑（PL）范畴中构造坍塌为Reeb空间的流形，从而实现高维流形的胞腔分解。

提出的方法

• 在流形和映射上使用手术操作，以在分段光滑（PL）范畴中构造新的折痕映射。
• 通过局部模型定义并分析折痕映射：$(x_1,\dots,x_m) \mapsto (x_1,\dots,x_{n-1}, \sum_{k=n}^{m-i} x_k^2 - \sum_{k=m-i+1}^{m} x_k^2)$，其中指标 $i(p)$ 决定奇点类型。
• 为折痕映射在奇异集上的限制引入法向交叉，确保在扰动下保持横截性和稳定性。
• 将Reeb空间构造为源流形关于预像分支的商空间，同时保留同调与上同调信息。
• 应用PL技术，通过纤维丛在 $n$-、$(n-1)$- 和 $(n-2)$-维多面体上构建 $(m+1)$-维流形，使其坍塌为Reeb空间。
• 在PL范畴中，通过粘合局部邻域的模型（纤维为球面、圆盘或加厚球面的积）构造全局坍塌流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用手术操作构造出奇异集限制非嵌入但仍是光滑浸入的折痕映射？
• RQ2 奇异集限制中的法向交叉如何影响Reeb空间的拓扑与代数不变量？
• RQ3 通过新手术技术构造的折痕映射的Reeb空间中，可实现哪些上同调环结构？
• RQ4 在奇异集限制非嵌入的情况下，折痕映射的Reeb空间在何种方式下能反映源流形的同调与上同调？
• RQ5 如何利用分段光滑（PL）技术构造坍塌为Reeb空间的流形，从而实现在高维中的胞腔分解？

主要发现

• 本文构造了稳定的折痕映射，其奇异集上的限制可能具有法向交叉，突破了嵌入的限制。
• 所构造的折痕映射的Reeb空间继承了特定的上同调环结构，从而支持对源流形的代数拓扑分析。
• 对于 $k_1 + 2k_2 + k_3 = 3$ 的情形，本文证明在 $R = \mathbb{Z}$ 或 $\mathbb{Q}$ 的某些条件下，$A_R$ 的 $\frac{n}{2}$-阶模中不存在秩为2的子模，其元素的平方为零。
• 折痕映射的Reeb空间可实现为 $n$-维多面体，且源流形通过一个 $m+1$-维的分段光滑流形坍塌至该空间。
• 在PL范畴中，构造得到一个 $(m+1)$-维流形，其通过在 $M \times \{1\}$ 上附着指数 $\geq m-n$ 的胞腔而形成，该流形坍塌至Reeb空间。
• 该方法允许显式构造具有受控Reeb空间拓扑的折痕映射，包括每个预像分支中奇异点最多两个的情形。