[论文解读] Surjectivity of the asymptotic Borel map in Carleman-Roumieu ultraholomorphic classes defined by regular sequences

Javier Jiménez-Garrido, Javier Sanz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用 5

一句话总结

该论文建立了在Dyn'kin意义下由正规序列定义的Carleman-Roumieu超全纯类中渐近Borel映射的满射性，以及全局右逆（延拓算子）的存在性。通过正规变体理论、积分变换以及Gelfand-Shilov空间表征结果，作者证明：当且仅当Thilliez指标γ(M) = ∞时，满射性对所有扇形开口γ ∈ (0, ∞)成立，这等价于序列m_n增长足够快以满足条件(β2)。

ABSTRACT

We study the surjectivity of, and the existence of right inverses for, the asymptotic Borel map in Carleman-Roumieu ultraholomorphic classes defined by regular sequences in the sense of E. M. Dyn'kin. We extend previous results by J. Schmets and M. Valdivia, by V. Thilliez, and by the authors, and show the prominent role played by an index associated with the sequence and introduced by Thilliez. The techniques involve regular variation, integral transforms and characterization results of A. Debrouwere in a half-plane, steming from his study of the surjectivity of the moment mapping in general Gelfand-Shilov spaces.

研究动机与目标

• 刻画在由正规序列定义的Carleman-Roumieu超全holomorphic类中渐近Borel映射的满射性。
• 在最小增长假设下，建立Borel映射的全局延拓算子（右逆）的存在性。
• 阐明Thilliez指标γ(M)的作用及其与正规序列下条件(β2)的等价性。
• 将先前在中等增长条件下的满射性结果扩展至导出封闭序列的情形。
• 以指标γ(M)为基准，对满射性区间和延拓算子存在性提供完整刻画。

提出的方法

• 利用正规变体理论和下Matuszewska指标分析序列m_n（即权序列M的商）的增长性。
• 将A. Debrouwere关于Gelfand-Shilov空间中矩映射满射性的表征结果应用于渐近Borel映射。
• 运用积分变换及拉普拉斯变换的性质，在复半平面上构造延拓算子。
• 通过渐近分析，建立条件γ(M) = ∞与序列m_n满足条件(β2)之间的等价性。
• 借助下Matuszewska指标，建立指标γ(M) = ∞与序列f_m = (m_{n-1})_n的快速变异性之间的等价性。
• 使用Stolz准则和对数渐近分析，推导出log(m_n)关于log(n)的生长条件，从而得出log(m_n)/log(n) → ∞的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由正规序列定义的超全holomorphic类中，渐近Borel映射是满射的？
• RQ2 在不假设中等增长的前提下，Borel映射的全局延拓算子（右逆）在何时存在？
• RQ3 Thilliez指标γ(M)与序列m_n的条件(β2)之间的确切关系是什么？
• RQ4 指标γ(M) = ∞如何与所有扇形开口γ ∈ (0, ∞)下延拓算子的存在性相关联？
• RQ5 是否可以在不假设中等增长的前提下，仅基于导出封闭性和正规性，对Borel映射的满射性进行完全刻画？

主要发现

• 渐近Borel映射对所有扇形开口γ ∈ (0, ∞)是满射的，当且仅当Thilliez指标γ(M) = ∞。
• 当γ(M) = ∞时，对每个r > 0，存在全局延拓算子UM,r : C[[z]]{M} → A{bM}(Sr)。
• 条件γ(M) = ∞等价于序列m_n满足条件(β2)，后者确保了矩映射的满射性及延拓算子的存在性。
• 通过下Matuszewska指标，建立了γ(M) = ∞与序列f_m = (m_{n-1})_n的快速变异性之间的等价性。
• 条件γ(M) = ∞意味着当n → ∞时，log(m_n)/log(n) → ∞，这是Borel映射满射性的关键增长准则。
• 当且仅当γ(M) = ∞时，满射性区间为(0, ∞)，且该结论独立于中等增长条件，将先前结果推广至导出封闭情形。