[论文解读] Surrounding cops and robbers on graphs of bounded genus

Peter Bradshaw, Seyyed Aliasghar Hosseini|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文為有界亏格图的包围骑士数建立了紧致界，表明平面图最多需要 7 名骑士，环面图最多需要 8 名骑士，且在二分图情况下得到了改进的界。作者采用测地路径守卫策略，每条路径使用 2–3 名骑士，通过迭代缩小逃犯的活动区域，直至被完全包围。

ABSTRACT

We consider a surrounding variant of cops and robbers on graphs of bounded genus. We obtain bounds on the number of cops required to surround a robber on planar graphs, toroidal graphs, and outerplanar graphs. We also obtain improved bounds for bipartite planar and toroidal graphs. We briefly consider general graphs of bounded genus and graphs with a forbidden minor.

研究动机与目标

• 确定在有界亏格图上包围逃犯所需的最少骑士数，特别是平面图和环面图。
• 将现有的骑士数策略扩展到包围版本的骑士与逃犯游戏，其中胜利条件是通过包围骑士将逃犯隔离。
• 为二分平面图和环面图建立改进的界，并将结果推广至不含子式的图类。
• 建立紧致上界，并通过显式构造证明其紧致性。

提出的方法

• 以测地路径守卫为核心策略，将骑士布置在关键位置以防止逃犯进入特定路径。
• 在一般图中使用三名骑士守卫一条测地路径，在二分图中使用两名骑士，基于距离阴影和路径控制。
• 通过依次守卫测地路径，迭代缩小包含逃犯的连通分量，逐步减少其活动区域。
• 利用已知的亏格为 $g$ 的图的骑士数结果，并通过守卫路径策略将其适配到包围版本。
• 采用基于距离的阴影策略：骑士通过跟踪逃犯与路径端点的距离来阻止其接近。
• 通过显式构造（如 8 个顶点的网格 $P_1 \square P_3$）证明界的紧致性，表明对于二分外平面图有 $s(G) = 3$。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面图的包围骑士数最大值是多少？7 是否为紧致界？
• RQ2 环面图的包围骑士数最大值是多少？8 是否为紧致界？
• RQ3 能否使用相同的守卫策略为二分平面图和环面图建立改进的界？
• RQ4 包围骑士数的界如何推广至更高亏格的图以及不含子式的图？
• RQ5 移动限制（例如每回合移动的骑士数有限）对包围骑士数有何影响？

主要发现

• 任何平面图的包围骑士数至多为 7，且该界是紧致的，因为存在需要 6 名骑士的平面图。
• 对于环面图，包围骑士数至多为 8，且存在例子表明其可高达 7。
• 对于二分平面图和环面图，建立了改进的界：分别为 $s(G) \leq 4$ 和 $s(G) \leq 5$。
• 对于亏格为 $g$ 的图，包围骑士数满足 $s(G) \leq 4g + 10$；对于二分图，满足 $s(G) \leq \lfloor \frac{8}{3}g + \frac{20}{3} \rfloor$。
• 对于不含子式 $H$ 的图，包围骑士数满足 $s(G) \leq 3|E(H - h)|$（一般图）和 $s(G) \leq 2|E(H - h)|$（二分图）。
• 构造了一个二分外平面图 $G = P_1 \square P_3$，满足 $s(G) = 3$，证明了外平面图界是紧致的。