[论文解读] Survey of Dirichlet Series of Multiplicative Arithmetic Functions

Richard J. Mathar|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文通過將乘法算術函數表示為黎曼ζ函數或無限歐拉乘積的乘積與比值，系統地推導出其狄利克雷級數。它利用狄利克雷卷積、乘法性質與貝爾級數，對歐拉的歐拉函數、除數函數以及高階莫比烏斯與歐拉函數等關鍵函數的生成函數進行分類與計算，提供封閉形式表達式及對應的OEIS A編號以供參考。

ABSTRACT

The manuscript reviews Dirichlet Series of important multiplicative arithmetic functions. The aim is to represent these as products and ratios of Riemann zeta-functions, or, if that concise format is not found, to provide the leading factors of the infinite product over zeta-functions. If rooted at the Dirichlet series for powers, for sums-of-divisors and for Euler's totient, the inheritance of multiplicativity through Dirichlet convolution or ordinary multiplication of pairs of arithmetic functions generates most of the results.

研究动机与目标

• 系統推導重要乘法算術函數的狄利克雷生成函數。
• 將這些生成函數表示為黎曼ζ函數的有限或無限乘積/比值。
• 利用貝爾級數與狄利克雷卷積建立統一框架，以推導生成函數。
• 透過A編號將結果與OEIS序列關聯，以實現交叉引用與驗證。
• 將已知結果推廣至高階乘法函數，如酉歐拉函數與高階莫比烏斯函數。

提出的方法

• 使用貝爾級數表示：∏ₚ ∑ₑ≥₀ a(pᵉ)/pᵉˢ，將狄利克雷級數表達為歐拉乘積形式。
• 應用狄利克雷卷積以繼承乘法性質，並推導複合函數的生成函數。
• 利用涉及(1±pˡ⁻ᵘˢ)⁻¹的恆等式，將無限歐拉乘積轉化為黎曼ζ函數的比值。
• 使用主方程 a(pᵉ) 定義函數在質數冪上的值，並透過乘法性質推廣至所有整數。
• 推導冪函數、除數函數、歐拉函數、莫比烏斯型函數以及同餘方程 xᵗ≡0 mod n 解的生成函數。
• 透過截斷歐拉乘積展開式，對複平面上的 ζ_D(s) 進行數值逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將乘法算術函數的狄利克雷級數表示為黎曼ζ函數的形式？
• RQ2 狄利克雷卷積在生成新乘法函數及其相關狄利克雷級數中發揮何種作用？
• RQ3 貝爾級數表示如何促進狄利克雷生成函數的無限乘積形式推導？
• RQ4 高階莫比烏斯與歐拉函數的狄利克雷級數之封閉形式表達式為何？
• RQ5 這些狄利克雷級數的收斂區域與歐拉乘積組分中的指數之間有何關係？

主要发现

• nᵏ 的狄利克雷級數為 ζ(s−k)，常數函數 1 的級數為 ζ(s)，而莫比烏斯函數 μ(n) 的生成函數為 1/ζ(s)。
• 歐拉函數 φ(n) 的狄利克雷級數為 ζ(s−1)/ζ(s)，此結果源自狄利克雷卷積 φ = μ⋆id。
• 酉歐拉函數 Jₖ⋆(n) 的生成函數為 ζ(s−k) × ∏ₚ (1−p⁻ˢ)(1+pᵏ⁻²ˢ)(1−p⁻²ˢ)(1+pᵏ⁻³ˢ)²⋯，其中 s>1+k。
• 同餘方程 xᵗ≡0 mod n 的解的數目是乘法函數，其 a(pᵉ)=p^{⌊(t−1)e/t⌋}，其狄利克雷級數為 ∏ₚ (1 + ∑_{r=1}^{t−1} p^{r−1−rs}) / (1−p^{t−1−st})，適用於 t≥2。
• 滿足 xᵗ≡0 mod n 的最小正整數 x>0 的狄利克雷級數為 ∏ₚ (1+p^{1−s})/(1−p^{1−2s}) = ζ(2s−1)ζ(s−1)/ζ(2s−2)，適用於 t=2。
• 高階莫比烏斯函數 μₖ(n) 的貝爾級數為 (1−2p⁻ᵏˢ+p⁻⁽ᵏ⁺¹⁾ˢ)/(1−p⁻ˢ)，其狄利克雷級數可表示為包含特定指數模式的ζ函數的無限乘積。