[论文解读] Survey of Quasirandomness in Number Theory

Joshua Cooper|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过离散傅里叶分析和Erdős-Turán不等式，研究了数论置换中的准随机性，特别是Sós置换，展示了其低差异性。研究证明，由数论自然构造的若干置换具有准随机性，且具备强烈的准随机性特征，从而深化了对无理数倍数的分数部分分布的理解。

ABSTRACT

In [9], the author introduced quasirandom permutations, permutations of Zn which map intervals to sets with low discrepancy. Here we show that several natural number-theoretic permutations are quasirandom, some very strongly so. Quasirandomness is established via discrete Fourier analysis and the Erdős-Turán inequality, as well as by other means. We apply our results on Sós permutations to make progress on a number of questions relating to the sequence of fractional parts of multiples of an irrational. Several intriguing new open problems are presented throughout the discussion. 1

研究动机与目标

• 研究数论置换，特别是Sós置换，是否表现出准随机行为。
• 利用离散傅里叶分析和Erdős-Turán不等式，建立这些置换的准随机性。
• 将Sós置换的结果应用于深化对无理数倍数的分数部分分布的理解。
• 识别并提出与差异性和数论序列中均匀分布相关的若干新开放问题。

提出的方法

• 应用离散傅里叶分析，以研究置换的谱性质。
• 利用Erdős-Turán不等式来界定差异性并量化准随机性。
• 分析由数论构造生成的置换，特别是Sós置换。
• 通过考察这些置换下区间如何映射，来建立低差异性。
• 结合解析数论技术与组合差异性理论。
• 利用关于无理数倍数分数部分的已知结果，将其与准随机性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sós置换及其他数论置换是否表现出准随机行为？
• RQ2 Erdős-Turán不等式在多大程度上可用于量化此类置换的准随机性？
• RQ3 这些置换下区间的差异性与无理数倍数的分数部分分布有何关联？
• RQ4 这些序列的准随机性特征会引出哪些新的开放问题？

主要发现

• 若干数论置换，包括Sós置换，被证明具有准随机性，其中一些表现出极强的准随机性。
• 通过离散傅里叶分析和Erdős-Turán不等式，界定了这些置换下区间的差异性。
• 研究结果为无理数倍数的分数部分分布提供了新见解。
• 本文识别并提出了若干与数论序列中差异性和均匀分布相关的全新开放问题。