[论文解读] Survey on Classifying Spaces for Families of Subgroups

Wolfgang Lueck|ArXiv.org|Dec 19, 2003

Advanced Operator Algebra Research被引用 4

一句话总结

本文对拓扑群中子群族的分类空间提供了全面综述，引入了两种版本——G-CW复形与可数G-空间，并在特定条件下证明了它们的G-同伦等价。文章为几乎连通群、字超曲群和算术群等关键群构造了几何模型，并通过将K-理论与L-理论的计算约化为这些空间上的等变同调，阐明了其在Baum-Connes与Farrell-Jones猜想中的核心作用。

ABSTRACT

We define for a topological group G and a family of subgroups F two versions for the classifying space for the family F, the G-CW-version E_F(G) and the numerable G-space version J_F(G). They agree if G is discrete, or if G is a Lie group and each element in F compact, or if F is the family of compact subgroups. We discuss special geometric models for these spaces for the family of compact open groups in special cases such as almost connected groups G and word hyperbolic groups G. We deal with the question whether there are finite models, models of finite type, finite dimensional models. We also discuss the relevance of these spaces for the Baum-Connes Conjecture about the topological K-theory of the reduced group C^*-algebra, for the Farrell-Jones Conjecture about the algebraic K- and L-theory of group rings, for Completion Theorems and for classifying spaces for equivariant vector bundles and for other situations.

研究动机与目标

• 定义并比较两类子群族分类空间的版本：G-CW复形版本与可数G-空间版本。
• 为几乎连通群、字超曲群和算术群等关键情形构造这些分类空间的几何模型。
• 研究这些分类空间的有限性条件——有限、有限型与有限维模型。
• 确立这些空间在K-理论与L-理论主要猜想中的相关性，特别是Baum-Connes与Farrell-Jones猜想。
• 阐明这些空间在等变拓扑中的作用，包括完备化定理与等变丛的分类空间。

提出的方法

• 将G-CW复形版本 $E_{\frak{F}}(G)$ 定义为具有属于族 $\frak{F}$ 的稳定子群的G-CW复形，通过其对G-等变映射的普遍性质来刻画。
• 引入可数G-空间版本 $J_{\frak{F}}(G)$，即具有G-不变可数G-覆盖的G-空间，同样具有对G-等变映射的普遍性质。
• 证明当 $G$ 为离散群、具有紧致子群属于 $\frak{F}$ 的李群，或 $\frak{F}$ 为紧致子群族时，$E_{\frak{F}}(G)$ 与 $J_{\frak{F}}(G)$ 是G-同伦等价的。
• 利用对称空间、Teichmüller空间、外空间、Rips复形、建筑物与树，为特定族与群构造几何模型。
• 利用等变同调与诱导结构，将 $K$-群与 $L$-群的计算约化为在 $E_{\mathcal{F}}(G)$ 上的同调，尤其针对有限子群与几乎循环子群族。
• 应用局部化与上积构造，从 $V_i \subseteq G$ 的几乎循环子群的 $E_{\mathcal{FIN}}(V_i)$ 模型构建 $E_{\mathcal{VCYC}}(G)$ 的模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，子群族 $\frak{F}$ 的分类空间的G-CW复形版本与可数G-空间版本是G-同伦等价的？
• RQ2 对于哪些类型的拓扑群（如几乎连通群、字超曲群、算术群）存在 $E_{\mathcal{FIN}}(G)$ 与 $E_{\mathcal{VCYC}}(G)$ 的有限或有限维模型？
• RQ3 子群族的分类空间如何通过Farrell-Jones猜想促进群环的代数K-与L-群的计算？
• RQ4 这些分类空间在拓扑K-理论的群C*-代数的Baum-Connes猜想的表述与证明中起什么作用？
• RQ5 对于几乎循环或有限子群 $H$，固定点集 $X^H$ 如何决定 $E_{\mathcal{VCYC}}(G)$ 的模型结构？

主要发现

• 当 $G$ 为离散群、具有紧致子群属于 $\frak{F}$ 的李群，或 $\frak{F}$ 为紧致子群族时，G-CW复形版本 $E_{\frak{F}}(G)$ 与可数G-空间版本 $J_{\frak{F}}(G)$ 是G-同伦等价的。
• 对于含挠的离散群，$E_{\mathcal{FIN}}(G)$ 可能存在有限维模型，即使 $EG$ 不存在，其最小维数与虚上同调维数相关。
• 通过使用 $V_i \subseteq G$ 的几乎循环子群的 $E_{\mathcal{FIN}}(V_i)$ 模型的G-上积构造，可得到 $E_{\mathcal{VCYC}}(G)$ 的模型，且对所有有限及无限几乎循环子群 $H \subseteq G$，均有 $X^H$ 同伦等价于点。
• $E_{\mathcal{FIN}}(G)$ 与 $E_{\mathcal{VCYC}}(G)$ 为Farrell-Jones猜想中的相关等变同调理论提供了几何模型，将 $K_n(RG)$ 与 $L_n(RG)$ 约化为等变同调群。
• 项 $H_n^{V_i}(E_{\mathcal{VCYC}}(V_i), E_{\mathcal{FIN}}(V_i); \mathbf{K}_R)$ 与 $H_n^{V_i}(E_{\mathcal{VCYC}}(V_i), E_{\mathcal{FIN}}(V_i); \mathbf{L}_R^{\langle -\infty \rangle})$ 在 $V_i$ 的代数K-与L-理论中包含Nil与UNIL项，当 $R = \mathbb{Z}$ 时在有理化后为零，且在L-理论中对2取逆后也为零。
• 对任意CW复形 $X$，存在一个离散群 $G$，使得轨道空间 $G \backslash E_{\mathcal{FIN}}(G)$ 与 $X$ 同伦等价，表明这些轨道空间在同伦理论中具有普遍性。