[论文解读] Survey on entropy-type invariants of sub-exponential growth in dynamical systems

Adam Kanigowski, Anatole Katok+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 48被引用 8

一句话总结

本综述全面回顾了零熵动力系统中熵型不变量的研究，重点关注慢熵、序列熵及其相关不变量（如熵维数和收敛速率）。该文统一了近期的理论进展，建立了复杂性、谱性质与系统结构之间的联系，并指出了在慢熵估计与实现方面仍存在的开放问题，尤其针对一类系统如秩一系统、区间交换变换（IETs）和散射系统。

ABSTRACT

Measure-theoretic and topological entropy are classical invariants in the theory of dynamical systems. There are several recently developed entropy type invariants for systems of sub-exponential growth: sequence entropy, slow entropy, Kakutani invariants, scaled entropy, entropy dimensions and entropy convergence rate. They measure the complexity of zero entropy systems by different approaches. These new invariants and corresponding new theories have many applications and interesting properties. This survey paper gives a comprehensive exposition of the slow entropy theory and also discusses some related topics.

研究动机与目标

• 提供慢熵理论的全面阐述，阐明其在衡量零熵动力系统复杂性中的作用。
• 在拓扑、测度和符号设置下，统一并比较各种熵型不变量——序列熵、慢熵、缩放熵、熵维数和收敛速率。
• 阐明慢熵与谱性质（如刚性系统中的可数勒贝格谱和奇异谱）之间的关系。
• 识别并提出在慢熵估计、逼近实现以及代表性系统（如区间交换变换和散射系统）中增长速率方面的开放问题。

提出的方法

• 通过轨道段之间的时间平均距离度量（汉明度量或积分度量）的测度论和拓扑形式化方法定义慢熵。
• 应用广义的库什尼连科不等式和变分原理（在适用时），将慢熵与不同缩放序列下的轨道增长联系起来。
• 利用谱理论和库普曼算子分析慢熵与无限测度保持系统中勒贝格谱之间的联系。
• 针对特定系统类（拟幂幺流、秩一系统、AbC构造和曲面流）使用定制化的熵估计方法。
• 引入并分析通过信息泛函 $ I_{\beta}(x) = -\log_2 \mu(\beta(x)) $ 定义的熵收敛速率，将点态增长与整体复杂性联系起来。
• 使用快速周期逼近作为构造工具，探索给定慢熵增长速率的可实现性。

实验结果

研究问题

• RQ1 可数勒贝格谱是否对系统的上慢熵施加限制？
• RQ2 刚性变换是否可能在缩放 $ a_n(t) = n^t $ 下具有正的上慢熵？
• RQ3 区间交换变换（IETs）的慢熵是多少？在 $ a_n(t) = n^t $ 下是否可能达到 1？
• RQ4 奥恩斯坦混合的秩一系统在 $ a_n(t) = n^{kt} $（任意 $ k > 0 $）下是否具有无穷大的上慢熵？
• RQ5 是否可以通过快速周期逼近实现任意次指数慢熵？

主要发现

• 慢熵在卡库塔尼等价下保持不变，且可区分具有零拓扑熵和零测度熵的系统。
• 对于秩一系统，熵收敛速率上界为 $ \log_2 n $，且不存在收敛速率 $ \geq c \log_2 n $ 的系统具有超对数增长。
• 秩一系统的上慢熵上界为 $ O(n^2) $，与费伦奇的研究结果（关于轨道复杂性）一致。
• 即使在零熵系统中，关于 $ \{n^2\} $ 的序列熵也可能为正，尽管该问题仍为开放问题。
• 慢熵不满足完整的变分原理，表明其与经典熵存在根本性差异。
• 对于曲面流和高秩作用，慢熵表现出非平凡的标度行为，其估计通过几何与动力学方法获得。