[论文解读] Survival and Growth of a Branching Random Walk in Random Environment

Christian Bartsch, Nina Gantert+1 more|ArXiv.org|Jun 22, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文研究在非负整数上的随机环境中分支随机游走，其中粒子根据位置依赖的后代分布繁殖，并以位置特定的概率向右移动。研究证明全局存活等价于种群矩的指数增长，且在存活事件中，粒子数量以与矩相同的指数速率几乎必然增长。

ABSTRACT

We consider a particular Branching Random Walk in Random Environment (BRWRE) on $\sN_0$ started with one particle at the origin. Particles reproduce according to an offspring distribution (which depends on the location) and move either one step to the right (with a probability in $(0,1]$ which also depends on the location) or stay in the same place. We give criteria for local and global survival and show that global survival is equivalent to exponential growth of the moments. Further, on the event of survival the number of particles grows almost surely exponentially fast with the same growth rate as the moments.

研究动机与目标

• 刻画分支随机游走全局存活的条件，即种群不会几乎必然灭绝。
• 建立全局存活与种群矩指数增长速率之间的精确联系。
• 证明在条件存活下，实际粒子数量几乎必然以与矩相同的指数速率增长。
• 通过子加性大数定律导出的函数 β 分析期望种群规模的空间分布。
• 将经典随机环境中的分支过程结果推广到具有移动和位置依赖繁殖与迁移的空间设定。

提出的方法

• 将系统建模为在 ℕ₀ 上独立同分布随机环境中的分支随机游走，其中后代分布和向右移动的概率依赖于位置。
• 将环境 ω 定义为独立同分布的对 (μₓ, hₓ)，其中 μₓ 为位置 x 处的后代分布，hₓ 为位置 x 处向右移动的概率。
• 利用嵌入的随机环境分支过程分析全局存活，结合矩生成函数与李雅普诺夫函数技术。
• 应用子加性大数定律，证明存在一个极限增长轮廓函数 β(x)，用于描述位置 x 处期望种群规模的渐近指数增长速率。
• 引入函数 φ(h) = ℰ[log(m₀h / (1 - m₀(1 - h)))]，以刻画存活阈值 h_LS 和全局存活区域。
• 通过条件存活与大偏差论证，证明粒子数量的几乎必然指数增长速率与矩的增长速率相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，分支随机游走实现全局存活，即种群不会几乎必然灭绝？
• RQ2 全局存活与种群矩的指数增长速率有何关系？
• RQ3 在过程存活的条件下，实际粒子数量的几乎必然增长速率是多少？
• RQ4 期望种群规模的空间分布如何演化，其轮廓由何种函数描述？
• RQ5 右移概率 hₓ 的临界阈值 h_LS 是什么，它如何区分全局存活与灭绝？

主要发现

• 分支随机游走的全局存活等价于种群矩的指数增长。
• 在存活事件中，粒子数量几乎必然以与矩相同的指数速率增长。
• 函数 β(x) 描述了位置 x 处期望粒子数的指数增长速率，其存在性可通过子加性大数定律刻画。
• 存活的临界阈值 h_LS ∈ (0,1] 由方程 φ(h_LS) = 0 确定，其中 φ(h) = ℰ[log(m₀h / (1 - m₀(1 - h)))。
• 若 M > 1（其中 M 为均值后代数 m₀ 的本质上确界），则存在非平凡的存活区域 h ∈ (h_LS, 1]，且全局存活当且仅当 h > h_LS。
• 当 m₀ 为随机变量且 φ(h) 严格递减时，存活区域严格包含于 (h_LS, 1] 内，且 h_LS < 1 是可能的，表明存在非平凡的相变。