[论文解读] Survival probabilities of weighted random walks

Frank Aurzada, Christoph Baumgarten|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用 13

一句话总结

本文研究了生存概率——即 i.i.d. 中心化随机变量的加权和保持在常数屏障以下的概率——重点关注多项式与指数权重函数。对于多项式权重，本文在具有指数矩的一类广泛分布下，建立了通用的生存指数 $ p + 1/2 $，通过耦合与 Slepian 不等式将已知的高斯结果推广。对于指数权重，普适性不成立，衰减速率依赖于分布，伯努利情形下呈现速率 $ \log 2 $ 的指数衰减，快于通用离散下界。

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of the probability that a weighted sum of centered i.i.d. random variables X_k does not exceed a constant barrier. For regular random walks, the results follow easily from classical fluctuation theory, while this theory does not carry over to weighted random walks, where essentially nothing seems to be known. First we discuss the case of a polynomial weight function and determine the rate of decay of the above probability for Gaussian X_k. This rate is shown to be universal over a larger class of distributions that obey suitable moment conditions. Finally we discuss the case of an exponential weight function. The mentioned universality does not hold in this setup anymore so that the rate of decay has to be determined separately for different distributions of the X_k. We present some results in the Gaussian framework.

研究动机与目标

• 分析加权随机游走中生存概率 $ P[\sup_{n=1,\dots,N} Z_n \leq 0] $ 的渐近衰减速率，其中权重函数为确定性函数。
• 将经典波动理论（适用于具有平稳增量的未加权随机游走）推广至具有非平稳增量的加权随机游走。
• 确定多项式权重的生存指数是否在高斯情形之外对所有分布均具有普适性。
• 研究指数权重情形下普适性的失效，并计算特定分布的衰减速率。

提出的方法

• 将加权随机游走建模为 $ Z_n = \sum_{k=1}^n \sigma(k) X_k $，其中 $ X_k $ 为 i.i.d. 中心化随机变量，$ \sigma(k) $ 为确定性权重函数。
• 对于高斯情形，利用其与在时间点 $ \kappa(n) = \sum_{k=1}^n \sigma(k)^2 $ 处评估的布朗运动的等价性，将问题简化为布朗运动的首达时问题。
• 应用 Slepian 不等式与 Koml\'os-Major-Tusn\'ady 耦合，将高斯情形的结果在矩条件下推广至非高斯增量。
• 对于指数权重，分析离散过程 $ B_{\kappa(n)} $，其中 $ \kappa(n) \asymp e^{2\beta n} $，并与连续时间的 Ornstein-Uhlenbeck 过程进行比较。
• 使用大偏差技术及带 drift 的布朗运动上确界概率的界来控制尾部概率。
• 通过证明所有具有指数矩的 i.i.d. 增量均满足生存指数 $ \theta = p + 1/2 $，建立多项式权重的普适性，且该指数与分布无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于多项式权重 $ \sigma(n) \asymp n^p $ 的加权随机游走，生存概率的渐近衰减速率是什么？
• RQ2 生存指数 $ p + 1/2 $ 是否对所有具有指数矩的 i.i.d. 增量均普适，还是依赖于分布？
• RQ3 对于指数权重函数 $ \sigma(n) = e^{\beta n} $，生存概率的行为如何？普适性是否仍然成立？
• RQ4 指数权重的离散生存概率能否被一个通用速率下界控制？其与连续时间情形相比如何？

主要发现

• 对于多项式权重 $ \sigma(n) \asymp n^p $，生存概率以 $ N^{-(p+1/2)+o(1)} $ 的速率衰减，且指数 $ \theta = p + 1/2 $ 对所有具有指数矩的 i.i.d. 增量均普适。
• 在高斯情形下，通过布朗运动近似推导出生存指数：当 $ \kappa(N) \asymp N^{2p+1} $ 时，有 $ P[\sup_{n \leq N} B_{\kappa(n)} \leq 0] = N^{-q/2 + o(1)} $，其中 $ q = 2p+1 $。
• 对于指数权重 $ \sigma(n) = e^{\beta n} $，生存概率以指数速率 $ \exp(-cN) $ 衰减，其中布朗运动的 $ c > \log 2 $，而 i.i.d. Rademacher 增量的衰减速率恰好为 $ \log 2 $。
• 在指数权重情形下，生存指数的普适性被打破：对于 Rademacher 增量，衰减速率为 $ \log 2 $，快于离散情形下的通用下界 $ \log 2 $。
• 对于 $ \sigma(n) = e^{\beta n} $ 的离散过程，生存概率严格大于 $ 2^{-N} $，表明离散与连续时间过程的衰减速率不同。
• Koml\'os-Major-Tusn\'ady 耦合使得在满足三阶绝对矩条件的前提下，可将结果推广至非同分布增量。