[论文解读] SUSY field theories, integrable systems and their stringy/brane origin -- II

A. Gorsky, Sergey Gukov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用 41

一句话总结

本文建立了具物质的五维与六维超对称 gauge 理论与可积系统之间的对应关系——具体而言，五维理论对应于扭曲的 XXZ 自旋链，六维理论对应于基于 Sklyanin 代数的 XYZ 自旋链。它表明这些可积系统的谱曲线和生成 1-形式重现了 gauge 理论的 Seiberg-Witten 预势，其中在 $S^1$ 和 $T^2$ 上的紧化将场论动力学与五brane 及几何工程框架联系起来，而 Sklyanin 代数的参数则编码了模空间与量子结构。

ABSTRACT

Five and six dimensional SUSY gauge theories, with one or two compactified directions, are discussed. The 5d theories with the matter hypermultiplets in the fundamental representation are associated with the twisted $XXZ$ spin chain, while the group product case with the bi-fundamental matter corresponds to the higher rank spin chains. The Riemann surfaces for $6d$ theories with fundamental matter and two compact directions are proposed to correspond to the $XYZ$ spin chain based on the Sklyanin algebra. We also discuss the obtained results within the brane and geometrical engeneering frameworks and explain the relation to the toric diagrams.

研究动机与目标

• 建立具物质的五维与六维 $N=1$ SUSY gauge 理论与有限维可积系统之间的对应关系。
• 表明这些理论的 Coulomb 分支几何由对应可积模型的谱曲线与生成 1-形式编码。
• 将场论模空间与预势与 Sklyanin 与 XXZ 自旋链的代数结构相联系。
• 在五brane 构型与几何工程框架内解释结果，特别是通过 M-theory 与在具有 ADE 奇点的 Calabi-Yau 三复形上的 type IIA 紧化。
• 阐明量子群对称性与 Sklyanin 代数在低能有效作用量中的角色，特别是在紧化维度的背景下。

提出的方法

• 本文使用 Seiberg-Witten 假设，从可积系统的谱曲线与生成 1-形式 $dS$ 推导出预势。
• 识别出具 fundamental 物质的 $5d$ $SU(N_c)$ 理论由具有 $N_c$ 位点的扭曲 $XXZ$ 自旋链所支配。
• 对于具 fundamental 物质的 $6d$ 理论，可积系统被识别为基于 Sklyanin 代数的 $XYZ$ 自旋链，其谱曲线由 Sklyanin 代数的 Lax 矩阵导出。
• 通过 $dS^{XYZ} = -d\tilde{\rho} + d(\rho \log w)$ 构造生成 1-形式 $dS$，其中 $\tilde{\rho}$ 与谱曲线的对数导数相关。
• 该方法涉及通过谱曲线分析模参数的变化，表明 $\delta dS$ 在曲线上产生一个全纯 1-形式。
• 通过将 $R^4 \times S^1$ 与 $R^4 \times T^2$ 紧化与 M-theory 及具有 ADE 奇点的 Calabi-Yau 三复形上的 type IIA 紧化相联系，建立了与五brane 工程的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 具 fundamental 物质的五维 $N=1$ SUSY gauge 理论的 Coulomb 分支模空间如何与可积系统相关？
• RQ2 具 fundamental hypermultiplets 的六维 $N=1$ SUSY gauge 理论背后的精确可积系统是什么？
• RQ3 XXZ 与 XYZ 自旋链的谱曲线与生成 1-形式如何重现五维与六维的 Seiberg-Witten 预势？
• RQ4 Sklyanin 代数及其参数在编码六维理论的模空间与量子结构中起什么作用？
• RQ5 从六维到五维与四维的维度约化如何将有效弦、1-形式与 instantons 与可积系统结构联系起来？

主要发现

• 具 fundamental 物质的 $5d$ $SU(N_c)$ SUSY gauge 理论由具有 $N_c$ 位点的扭曲 $XXZ$ 自旋链描述，其谱曲线与 $XXZ$ 链的谱曲线一致。
• 五维理论的预势，包括三次 Chern-Simons 项，完全由可积系统决定，并与具有固定系数的已知微扰结果一致。
• 具 $N_f = 2N_c$ 个 fundamental hypermultiplets 的 $6d$ $SU(N_c)$ 理论与基于 Sklyanin 代数的 $XYZ$ 自旋链相关联，其谱曲线由代数的 Lax 矩阵导出。
• XYZ 系统的生成 1-形式 $dS$ 构造为 $dS^{XYZ} = -d\tilde{\rho} + d(\rho \log w)$，其变分在谱曲线上产生全纯 1-形式。
• 六维理论的纯 gauge 极限对应于将所有 hypermultiplet 质量取无穷大，导致一个假想的“椭圆 Toda 链”，但由于 Sklyanin 代数参数的约束，该退化并未完全实现。
• 六维理论的五brane 构型被解释为在 $x^5$-$x^6$ 平面中结束于五brane 上的六brane 段，$T^2$ 环面的复结构编码了 Sklyanin 代数的参数。