[论文解读] SUSY Lattice Vertex Algebras

Reimundo Heluani, Victor G. Kač|ArXiv.org|Oct 8, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文构建并分类了与整格 $Q$ 相关的 $N=1$ 超对称格点顶点代数 ($\mathrm{V}_Q^{Σuper}}$)，证明其同构于普通格点顶点代数 $V_Q$ 与自由费米子代数 $F(\Pi\mathfrak{h})$ 的张量积。关键结果是：当 $Q=\mathbb{Z}$ 且双线性形式为 $(a,b)=2ab$ 时，$\mathrm{V}_Q^{Σuper}}$ 同构于中心荷为 $c=3/2$ 的简单 $N=3$ 超共形代数 $V_{3/2}(N3)$，从而证明了其有理性，并提供了目前唯一已知的非零 $c$ 值使得 $V_c(N3)$ 有理。

ABSTRACT

We construct and study SUSY lattice vertex algebras. As a simple example, we obtain the simple vertex algebra associated to the vertex algebra $V_c(N3)$ of central charge $c=3/2$, as the SUSY lattice vertex algebra associated to $\mathbb{Z}$ with bilinear form $(a,b) = 2ab$.

研究动机与目标

• 构建并表征与整格 $Q$ 相关的 $N=1$ 超对称格点顶点代数。
• 建立 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 与 $V_Q \otimes F(\Pi\mathfrak{h})$ 之间的同构关系，其中 $V_Q$ 为普通格点顶点代数，$F(\Pi\mathfrak{h})$ 为在 $\mathfrak{h}=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z}} Q$ 上、奇偶性反转的自由费米子代数。
• 证明 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 上存在规范的 $N=1$ 共形结构，且在 $\mathfrak{h}$ 上的反对称算子 $A$ 满足附加条件时，存在 $N=2$ 和 $N=4$ 共形结构。
• 计算不可约 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-模的特征标与超特征标，并证明它们张成上半平面上的全纯函数的 $SL_2(\mathbb{Z})$-不变空间。
• 证明当 $Q=\mathbb{Z}$ 且 $(a,b)=2ab$ 时，$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 同构于简单 $N=3$ 超共形代数 $V_{3/2}(N3)$，从而证明其有理性。

提出的方法

• 使用 [HK07] 中为 $N_K=1$ 超对称顶点代数开发的 $\Lambda$-括号形式，定义超场并计算对易关系。
• 将 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 构造为 $V^1(W) \otimes_{\mathbb{C}} \mathbb{C}_\varepsilon[Q]$，其中 $W=\Pi\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z}} Q$，$\mathbb{C}_\varepsilon[Q]$ 为 $Q$ 的扭群代数。
• 定义 $\Lambda$-括号 $[\alpha_\Lambda \beta] = (\alpha,\beta)\chi$（$\alpha,\beta \in W$）和 $[h_\Lambda e^\alpha] = (h,\alpha)e^\alpha$，以编码 $W$ 在群代数上的作用。
• 通过 $h_{(j|J)}(s \otimes e^\alpha) = h_{(j|J)}(s) \otimes e^\alpha$（$(j|J) \neq (0|0)$）将 $V^1(W)$ 上的算子 $h_{(j|J)}$ 扩张至 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$，且 $h_{(0|0)}(s \otimes e^\alpha) = (h,\alpha)s \otimes e^\alpha$。
• 利用 $\mathfrak{h}$ 上满足 $A^2 = 1$ 的反对称算子 $A$ 构造 $N=2$ 共形结构；利用满足 $A^i A^j = \sqrt{-1} \varepsilon_{ijk} A^k$（$i \neq j$）的三元组 $A^i$ 构造 $N=4$ 共形结构。
• 计算不可约 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-模的特征标与超特征标，并利用 theta 函数的模性质与 $\Lambda$-括号形式证明其 $SL_2(\mathbb{Z})$-不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从整格 $Q$ 构造 $N=1$ 超对称格点顶点代数？
• RQ2 作为普通顶点代数，$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 的精确结构是什么？它与 $V_Q$ 和 $F(\Pi\mathfrak{h})$ 的关系如何？
• RQ3 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 在何种条件下可拥有 $N=2$ 或 $N=4$ 超共形结构？
• RQ4 不可约 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-模的特征标与超特征标是什么？它们是否构成一个模不变空间？
• RQ5 $V_{3/2}(N3)$ 顶点代数是否具有有理性？它能否作为某个格 $Q$ 的 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 实现？

主要发现

• 作为普通顶点代数，$N=1$ 超对称格点顶点代数 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 同构于 $V_Q \otimes F(\Pi\mathfrak{h})$，其中 $V_Q$ 为普通格点顶点代数，$F(\Pi\mathfrak{h})$ 为在 $\mathfrak{h}=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z}} Q$ 上、奇偶性反转的自由费米子代数。
• 对任意格 $Q$，$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 均存在规范的 $N=1$ 共形结构。
• 对 $\mathfrak{h}$ 上任意满足 $A^2 = 1$ 的反对称算子 $A$，$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 均存在 $N=2$ 共形结构。
• 对 $\mathfrak{h}$ 上任意满足 $A^i A^j = \sqrt{-1} \varepsilon_{ijk} A^k$（$i \neq j$）的三元组反对称算子 $A^i$，$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 均存在 $N=4$ 共形结构。
• 不可约 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-模的特征标与超特征标张成上半平面上的全纯函数的有限维 $SL_2(\mathbb{Z})$-不变空间。
• 当 $Q = \mathbb{Z}$ 且双线性形式为 $(a,b) = 2ab$ 时，$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 同构于简单顶点代数 $V_{3/2}(N3)$，从而证明了 $V_c(N3)$ 在 $c = 3/2$ 处具有有理性，且这是目前唯一已知的非零 $c$ 值使得 $V_c(N3)$ 有理。