[论文解读] SUSY S-matrix Bootstrap and Friends

Carlos Bercini, Matheus Fabri+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 6

一句话总结

该论文将S矩阵bootstrap方法应用于具有$ν=1$超对称性及$Χ_2$/$Χ_4$对称性的二维量子场论，利用半定规划探索允许S矩阵的空间。它将允许区域的边界与已知的可积模型（如超对称和受限 sine-Gordon 理论）相联系，并推导出一个两参数的$Χ_4$对称S矩阵族，揭示了深层的解析结构与杨- Baxter因子分解，且无需事先强制施加这些性质。

ABSTRACT

We consider the 2D S-matrix bootstrap in the presence of supersymmetry, $\mathbb{Z}_2$ and $\mathbb{Z}_4$ symmetry. At the boundary of the allowed S-matrix space we encounter well known integrable models such as the supersymmetric sine-Gordon and restricted sine-Gordon models, novel elliptic deformations thereof, as well as a two parameter family of $\mathbb{Z}_4$ elliptic S-matrices previously proposed by Zamolodchikov. We highlight an intricate web of relations between these various S-matrices.

研究动机与目标

• 探索具有$ν=1$超对称性及$Χ_2$/$Χ_4$对称性的二维量子场论中幺正、交叉对称S矩阵的空间。
• 使用数值bootstrap技术识别允许S矩阵空间的边界，并将其与已知的可积模型相联系。
• 在幺正与交叉对称性约束下，推导出一个两参数的$Χ_4$对称S矩阵族，推广Zamolodchikov的构造方法。
• 在边界S矩阵中发现隐藏的解析结构，如杨- Baxter因子分解与极点/零点模式，且未预先强制施加这些结构。

提出的方法

• 在交叉对称点$s_* = 2m^2$处，利用非壳耦合$S_{\phi\phi}^{\phi\phi}(s_*)$与$S_{\phi\psi}^{\phi\psi}(s_*)$构造S矩阵空间的二维截面。
• 对S矩阵矩阵元采用色散关系假设，参数化为基函数的线性组合，以保证解析性与幺正性。
• 将交叉对称性作为系数上的线性约束，减少独立参数的数量。
• 通过半定规划强制幺正性，要求在$s$的离散点上矩阵$\begin{pmatrix}1 & S_a(s) \\ S_a^*(s) & 1\end{pmatrix} \succeq 0$。
• 使用sdpb软件在所得凸优化问题上最大化或最小化S矩阵矩阵元的线性泛函。
• 基于幺正性与束缚态残差约束，为比值函数$r(\theta) = S_{\phi\phi}^{\phi\phi}/S_{\phi\psi}^{\phi\psi}$推导出解析ansatz，其具有极点、零点及$2\pi i$-周期性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有或不具有束缚态的二维$ν=1$超对称理论中，S矩阵空间的结构如何？
• RQ2 允许S矩阵区域的边界与已知可积模型（如超对称和受限sine-Gordon理论）之间有何关系？
• RQ3 能否仅从bootstrap约束出发，解析地推导出一个两参数的$Χ_4$对称S矩阵族？
• RQ4 在边界S矩阵中，何种解析结构浮现，特别是关于极点、零点与杨- Baxter因子分解？
• RQ5 S矩阵在束缚态极点处的残差如何约束比值函数$r(\theta)$的函数形式？

主要发现

• 超对称S矩阵空间的边界对应于受限sine-Gordon模型的束缚子S矩阵，去除了其CDD极点，具有包含卡塔兰常数与多对数函数的闭式表达式。
• 随着束缚态质量的增加，允许区域单调缩小，紫色区域（无束缚态）由RSG S矩阵边界限定。
• 边界上的比值函数$r(\theta)$在$\theta = i\delta_1$处具有极点，在$\theta = i\delta_2$处具有零点，并在$\theta = i\pi + \delta_3$处有额外零点，其中$\delta_3$由幺正性固定。
• 比值函数$r(\theta)$的解析解依赖于两个参数：$t = \sin^2\delta_1$与$\gamma$，其中$\gamma$通过$m_{\text{bs}} = 2m\cosh(\gamma/2)$确定束缚态质量。
• 当$t = 0$时，解退化为超对称sine-Gordon S矩阵；当$t = \sin^2\gamma$时，达到自由理论极限。
• 尽管未在bootstrap过程中强制施加，边界区域内的杨- Baxter因子分解条件在整个区域中均被满足。