[论文解读] SUSY Transformations for Quasinormal and Total-Transmission Modes of Open Systems

P. T. Leung, Alec Maassen van den Brink+3 more|ArXiv.org|Sep 28, 1999

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 1被引用 5

一句话总结

该论文通过开发保持准正规模（quasinormal mode spectra）——即由向外行进波边界条件产生的复特征值——的同时也包含全透射模态的变换，将超对称性（SUSY）推广至开放量子系统。它展示了多个同谱的SUSY伙伴系统，每个伙伴系统缺失不同的状态，并表明SUSY可使准正规模和透射模态实现加倍，其应用涵盖P"{o}schl-Teller势和史瓦西时空中的引力波。

ABSTRACT

Quasinormal modes are the counterparts in open systems of normal modes in conservative systems; defined by outgoing-wave boundary conditions, they have complex eigenvalues. The conditions are studied for a system to have a supersymmetric(SUSY) partner with the same complex quasinormal-mode spectrum (or the same except for one eigenvalue). The discussion naturally includes total-transmission modes as well(incoming at one extreme and outgoing at the other). Several types of SUSY transformations emerge, and each is illustrated with examples, including the transformation among different Poschl-Teller potentials and the well-known identity in spectrum between the two parity sectors of linearized gravitational waves propagating on a Schwarzschild background. In contrast to the case of normal modes, there may be multiple essentially isospectral partners, each missing a different state. The SUSY transformation preserves orthonormality under a bilinear map which is the analog of the usual inner product for conservative systems. SUSY transformations can lead to doubled quasinormal and total-transmission modes; this phenomenon is analysed and illustrated. The existence or otherwise of SUSY partners is also relevant to the question of inversion: are open wave systems uniquely determined by their complex spectra?

研究动机与目标

• 将超对称性（SUSY）推广至具有复特征值的开放系统，这些特征值是正常模态的非守恒类比。
• 确定系统存在SUSY伙伴的条件，该伙伴与原系统具有相同的准正规模谱，可能仅缺少一个特征值。
• 将全透射模态——在散射现象中至关重要的模态——纳入SUSY框架，连接入射波与出射波的极端。
• 分析SUSY对谱反演的影响：开放系统是否由其复特征谱唯一确定。
• 探索多个同谱SUSY伙伴的存在性与结构，每个伙伴系统缺失不同的状态，及其物理意义。

提出的方法

• 通过保持正交归一性的双线性映射，形式化开放系统中的SUSY变换，该映射类似于保守系统中的内积。
• 将SUSY应用于P"{o}schl-Teller势，明确展示不同势形之间保持准正规模同谱性的变换。
• 利用SUSY分析史瓦西背景上线性化引力波两个宇称分量之间的谱等价性。
• 引入并分类多种SUSY变换类型，每种对应不同的谱行为与伙伴系统结构。
• 研究SUSY伙伴中的模态加倍现象，表明准正规模与全透射模态可在SUSY映射下成对出现。
• 通过在出射波边界条件下对复特征值进行分析，定义并表征SUSY框架中的准正规模。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，开放系统可拥有一个与原系统具有相同准正规模谱的SUSY伙伴，可能仅缺少一个特征值？
• RQ2 如何将全透射模态纳入SUSY形式体系，其在谱同谱性中扮演何种角色？
• RQ3 开放系统中会涌现出哪些类型的SUSY变换，它们与保守系统中的变换有何不同？
• RQ4 多个同谱SUSY伙伴是否可能存在，每个伙伴缺失不同的状态，其物理意义为何？
• RQ5 开放系统的复特征谱在多大程度上决定了其哈密顿量？SUSY如何为这一逆问题提供启示？

主要发现

• 对于给定的开放系统，可存在多个同谱SUSY伙伴，每个伙伴缺失不同的准正规模。
• SUSY变换通过双线性映射保持正交归一性，该映射将标准内积推广至非守恒系统。
• 该方法成功再现了史瓦西背景上线性化引力波两个宇称分量之间已知的谱等价性。
• 具体实例表明，SUSY变换可在不同P"{o}schl-Teller势之间实现，同时保持准正规模的同谱性。
• SUSY可导致模态加倍，即在伙伴系统中，准正规模与全透射模态以成对形式出现，这一现象在保守系统中并不存在。
• SUSY伙伴的存在性与谱反演问题相关：开放系统并非由其复特征谱唯一确定，因为多个不同的系统可共享同一特征谱。