[论文解读] Suzuki-Ree groups as algebraic groups over $\mathbb{F}_{\sqrt{\smash[b]p}}$

Tom De Medts, Karsten Naert|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出一个框架，其中Suzuki–Ree群和混合群作为在‘扭域’$ℂ_{\sqrt{p}}$上的代数群的有理点出现，通过一个自同函子的自同态（如Frobenius）引入扭范畴与混合范畴的新概念。关键贡献在于证明：从$ℂ_{\sqrt{p}}$到$ℂ_p$的基域扩张将扭群转化为混合群，且扭下降理论可检测哪些混合群由此构造产生。

ABSTRACT

Among the infinite classes of finite simple groups, the most exotic classes are probably the Suzuki groups and the Ree groups. They are "twisted versions" of groups of Lie type, but they cannot be directly obtained as groups of rational points of a suitable linear algebraic group. We provide a framework in which these groups do arise as groups of rational points of algebraic groups over a "twisted field"; in the finite case, such a twisted field can be interpreted as a "field with $\sqrt{\smash[b]p}$ elements". Our framework at once allows for other, perhaps less known, exotic families of groups. Most notably, there is a class of "mixed groups", introduced by J. Tits but also apparent in the work of Steinberg, and we show that they can be obtained as groups of rational points of algebraic groups over a "mixed field". We show that a base change from $\mathbb{F}_{\sqrt{\smash[b]p}}$ to $\mathbb{F}_p$ transforms twisted groups into mixed groups, and we formulate a notion of "twisted descent" that allows to detect which mixed groups arise in this fashion.

研究动机与目标

• 为Suzuki–Ree群提供一个统一的代数几何框架，这些群并非有限域上标准代数群的有理点。
• 通过引入如$ℂ_{\sqrt{p}}$这样的‘扭域’，解决不存在具有$p^{(2n+1)/2}$个元素的域这一基础性问题。
• 将该框架扩展至Tits引入的混合群，证明它们作为混合代数群的有理点出现。
• 建立从扭范畴到混合范畴的基域扩张函子，将Suzuki–Ree群与混合群联系起来。
• 将‘扭下降’形式化为检测哪些混合群可通过基域扩张从扭群中产生的标准。

提出的方法

• 通过自同函子的自同态$F$（通常为Frobenius映射）定义扭对象的范畴。
• 将混合对象的范畴构造为带有相容同构及其逆的对，构成下降数据。
• 引入‘扭下降’的概念，以识别哪些混合对象可通过基域扩张从扭对象中产生。
• 利用从$ℂ_{\sqrt{p}}$到$ℂ_p$的基域扩张函子，将扭代数群转化为混合代数群。
• 证明由此产生的有理点群在新框架下恢复Suzuki–Ree群与混合群。
• 将该理论应用于Dynkin图$ℂ_n$, $ℂ_n$, $ℂ_4$, 和$ℂ_2$，其中根系对偶性使构造成为可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 Suzuki–Ree群能否被实现为在如$ℂ_{\sqrt{p}}$这样的‘扭域’上代数群的有理点？
• RQ2 Tits引入的混合群能否系统地被构造为在‘混合域’上代数群的有理点？
• RQ3 在$ℂ_{\sqrt{p}}$上的扭群与在$ℂ_p$上的混合群之间存在何种精确关系？
• RQ4 哪些混合群是扭群的基域扩张？其成立的条件是什么？
• RQ5 下降理论在从混合群中恢复扭群的过程中起什么作用？

主要发现

• Suzuki–Ree群${}^{2}\mathsf{B}_{2}(2^{2n+1})$、${}^{2}\mathsf{F}_{4}(2^{2n+1})$与${}^{2}\mathsf{G}_{2}(3^{2n+1})$作为$ℂ_{\sqrt{p}}$上扭线性代数群的有理点出现。
• 包括Tits的混合建筑中出现的群在内的混合群，作为$ℂ_p$上混合线性代数群的有理点出现。
• 从$ℂ_{\sqrt{p}}$到$ℂ_p$的基域扩张将扭群转化为混合群。
• 当且仅当一个混合群存在一个自同态$f$使得$\tau f \circ f = \mathrm{id}$时，它才具有扭下降，且这蕴含$\operatorname{\mathbf{c}}_1 \cong \operatorname{\mathbf{c}}_2$。
• 扭对象的范畴通过$\tilde{X} \mapsto (\operatorname{twix}\tilde{X}, \mathrm{id})$全然且本质忠实地嵌入到带有下降数据的混合对象范畴中，从而建立全等价。
• 该框架适用于所有Dynkin类型$ℂ_n$, $ℂ_n$, $ℂ_4$, 与$ℂ_2$，其中仅$\mathsf{B}_2$情形满足$\mathsf{B}_2 \cong \mathsf{C}_2$，从而使得Suzuki群的构造成为可能。