[论文解读] Swanson Hamiltonian: non-PT-symmetry phase

Viviano Fernández, Romina Ramírez+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2021

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 86被引用 16

一句话总结

本文利用Gel’fand三元组形式化方法，研究了非厄米Swanson哈密顿量的非-PT对称相，通过构造广义本征函数并分析谱结构。研究识别出四种不同的物理区域——简谐振子、抛物势垒、负质量振子和负质量抛物势垒——取决于参数区域，并揭示了谱中存在无穷阶异常点（Exceptional Points of infinite order）。

ABSTRACT

In this work, we study the non-Hermitian Swanson Hamiltonian, particularly the non-parity-time symmetry phase. We use the formalism of Gel´fand triplet to construct the generalized eigenfunctions and the corresponding spectrum. Depending on the region of the parameter model space, we show that the Swanson Hamiltonian represents different physical systems, i.e. parabolic barrier, negative mass oscillators. We also discussed the presence of Exceptional Points of infinite order.

研究动机与目标

• 分析与PT对称相相比仍研究不足的Swanson哈密顿量的非-PT对称相。
• 应用Gel’fand三元组形式化方法，构建广义本征函数，并在标准希尔伯特空间框架之外定义谱结构。
• 根据参数空间中的不同区域（m > 0 / < 0 与 Ω² > 0 / < 0）对哈密顿量的物理诠释进行分类。
• 研究在非-PT相中异常点（EPs）的存在性与性质，特别是无穷阶异常点。
• 统一描述Swanson哈密顿量在不同参数值下所代表的多种物理系统——振子、势垒与负质量系统——的物理图像。

提出的方法

• 采用Gel’fand三元组形式化方法（Φ ⊂ H ⊂ Φ×），扩展希尔伯特空间框架，为非厄米哈密顿量定义广义本征函数与谱结构。
• 引入相似变换 Υ = exp(−(α−β)/(ω−α−β) x²/(2b₀²))，将Swanson哈密顿量 H× 映射为类似厄米形式的 h×，从而实现谱分析。
• 分析变换后的哈密顿量 h×φ(x) = −ℏ²/(2m) d²φ/dx² + (1/2)kx²φ(x) = Eφ(x)，其中 m 与 k 依赖于参数 ω, α, β, b₀。
• 根据 m(ω, α, β, b₀) 与 Ω²(ω, α, β) 的符号，将参数空间划分为四个区域，对应不同的物理系统。
• 应用广义函数与 rigged 希尔伯特空间的形式化方法，计算可观测量的平均值及其时间演化。
• 通过分析本征值与本征函数的简并性，识别异常点，特别关注无穷阶异常点的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 Swanson哈密顿量在非-PT对称相中的谱行为如何？它代表了哪些物理系统？
• RQ2 Gel’fand三元组形式化方法在定义非厄米哈密顿量（如Swanson的）广义本征函数与谱结构中起到何种作用？
• RQ3 在参数空间的哪些区域，Swanson哈密顿量描述的是抛物势垒、负质量振子或负质量抛物势垒？
• RQ4 在Swanson模型的非-PT对称相中，是否存在无穷阶异常点？其特征如何？
• RQ5 在非-PT相中，可观测量的平均值与时间演化行为如何，特别是在异常点附近？

主要发现

• 根据 m(ω, α, β, b₀) 与 Ω²(ω, α, β) 的符号，Swanson哈密顿量描述了四种不同的物理系统：简谐振子（区域I）、抛物势垒（区域II）、负质量振子（区域III）与负质量抛物势垒（区域IV）。
• 参数空间由平面 m = 0 与 Ω² = 0 划分为四个区域，且在 α/ω + β/ω = 1 处出现 m 的不连续性，如图3所示。
• 在谱中识别出无穷阶异常点，尤其在非-PT对称相中，表明存在超越有限阶异常点的新一类简并。
• 通过相似变换 Υ 将非厄米哈密顿量映射为类似厄米的形式 h×，从而在 rigged 希尔伯特空间框架中成功构造广义本征函数。
• 通过 Φ× 中的扩展形式化方法，计算了可观测量的平均值及其时间演化，揭示了非-PT相中非平凡的动力学行为。
• 该形式化方法成功捕捉了连续谱与谱性质，即使哈密顿量在标准希尔伯特空间中不可对角化。