[论文解读] Swap connectivity for two graph spaces between simple and pseudo graphs and disconnectivity for triangle constraints

Joel Nishimura|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 11被引用 3

一句话总结

本论文研究了在简单图与伪图之间的两类图空间——多重自环图（允许多重自环，不允许多重边）和带自环多重图（允许多重边和单个自环）——中双边交换马尔可夫链的连通性。研究证明，双边交换可对任意度序列均匀采样所有带自环多重图，但对某些度序列无法均匀采样所有多重自环图，且这些度序列被完全表征。本工作完成了在简单图与伪图之间的图空间中，自环与多重边所有组合下基于交换的MCMC连通性的分类。

ABSTRACT

With sufficient time, double edge-swap Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods are able to sample uniformly at random from many different and important graph spaces. For instance, for a fixed degree sequence, MCMC methods can sample any graph from: simple graphs; multigraphs (which may have multiedges); and pseudographs (which may have multiedges and/or multiple self-loops). In this note we extend these MCMC methods to `multiloop-graphs', which allow multiple self-loops but not multiedges and `loopy-multigraphs' which allow multiedges and single self-loops. We demonstrate that there are degree sequences on which the standard MCMC methods cannot uniformly sample multiloop-graphs, and exactly characterize which degree sequences can and cannot be so sampled. In contrast, we prove that such MCMC methods can sample all loopy-multigraphs. Taken together with recent work on graphs which allow single self-loops but no multiedges, this work completes the study of the connectivity (irreducibility) of double edge-swap Markov chains for all combinations of allowing self-loops, multiple self-loops and/or multiedges. Looking toward other possible directions to extend edge swap sampling techniques, we produce examples of degree and triangle constraints which have disconnected spaces for all edges swaps on less than or equal to 8 edges.

研究动机与目标

• 确定双边交换马尔可夫链是否能对任意固定度序列，在多重自环图和带自环多重图空间中均匀采样所有图。
• 确定双边交换在多重自环图空间中无法连接图图（gog）的精确条件。
• 完成对简单图与伪图之间所有自环与多重边组合下基于交换的MCMC连通性的完整分类。
• 考察在三角形约束下（包括固定三角形数量和三角形序列）边交换方法在采样图时的局限性。

提出的方法

• 论文为每个度序列构建图图（gog），其中节点代表图，边代表有效的双边交换。
• 利用组合数学与图论结构分析，研究多重自环图与带自环多重图的gog的不可约性（连通性）。
• 基于度序列的性质，推导出多重自环图空间中gog不连通性的精确必要与充分条件。
• 通过最多含8条边的显式反例，证明双边交换在固定三角形数量或三角形序列下无法连接所有图。
• 比较k条边交换（如3-和4-边交换）在约束图空间中的行为，表明即使对小图也会出现不连通。
• 使用穷举枚举与同构类分析，验证特定情况下的不连通性，如含4个三角形的度序列或特定三角形序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多重自环图空间中，哪些度序列会导致图图（gog）在双边交换下不连通？
• RQ2 双边交换能否对任意固定度序列均匀采样所有带自环多重图？
• RQ3 是否存在度序列与三角形约束的组合，使得即使在小图中，也无法通过任何双边交换序列连接所有图？
• RQ4 固定三角形数量或每顶点三角形计数的三角形约束如何影响边交换MCMC采样器的连通性？
• RQ5 在三角形约束空间中，不连通性问题在多大程度上限制了偏差或重要性加权采样方法的有效性？

主要发现

• 带自环多重图的图图在所有度序列下都是连通的，这意味着双边交换MCMC方法可均匀采样所有此类图。
• 存在某些度序列，使得多重自环图的图图不连通，且本文已对这些度序列进行了完全表征。
• 本文提供了精确的判别准则，用于判断给定度序列是否会导致多重自环图空间中gog的不连通。
• 对于恰好含4个三角形的度序列（如{3,3,3,3,2,2,2,2}），存在两个同构类在双边交换下不连通，需至少8次边变更才能连接。
• 即使在仅含8条边的小图中，也存在度序列与三角形序列的组合，使得任何双边交换序列都无法连接所有图，表明基于交换的采样存在根本性局限。
• 与以往已知的自环问题相比，这些不连通性问题更为严重且具普遍性，因为同构类之间相差大量边数，对严格采样与偏差采样方法均构成挑战。