[论文解读] Sweeping processes with stochastic perturbations generated by a fractional Brownian motion

Adrian Falkowski, S Leszek|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 41被引用 7

一句话总结

本论文通过路径积分的黎曼-斯蒂尔杰斯方法，建立了分数布朗运动（fBm）驱动的随机扫掠过程在 Hurst 指数 H > 1/2 条件下的适定性。利用确定性逼近技术，证明了解的存在性、唯一性以及 p-变差稳定性。该研究将经典的斯科罗霍德问题理论推广至非半鞅 fBm 驱动的动力系统，并引入反射障碍。

ABSTRACT

We study well-posedness of sweeping processes with stochastic perturbations generated by a fractional Brownian motion and convergence of associated numerical schemes. To this end, we first prove new existence, uniqueness and approximation results for deterministic sweeping processes with bounded $p$-variation and next we apply them to the stochastic case.

研究动机与目标

• 建立受分数布朗运动扰动的随机扫掠过程解的存在性与唯一性。
• 将斯科罗霍德问题与随机微分包含理论推广至非半鞅分数布朗运动的情形。
• 发展用于逼近 fBm 驱动扫掠过程解的数值格式收敛性理论。
• 分析调节过程的 p-变差与驱动信号及障碍动力学之间的关系。
• 将具有有界 p-变差的确定性扫掠过程结果推广至具有 fBm 扰动的随机设定。

提出的方法

• 使用路径积分的黎曼-斯蒂尔杰斯方法定义关于分数布朗运动的随机积分，该过程并非半鞅。
• 应用具有有界 p-变差函数的确定性扫掠过程理论，构造逼近解。
• 通过比较调节过程，建立两个解之差在 p-变差范数下的先验估计。
• 采用斯科罗霍德问题公式：X_t = X_0 + ∫f(s,X_s)ds + ∫g(s,X_s)dB^H_s + K_t，其中 X_t ∈ C_t 且 dK_t ∈ N(C_t; X_t)。
• 通过在 càdlàg 函数空间 D(R+; R^d) 中的离散化与极限论证，证明 p-变差稳定性。
• 利用 fBm 路径的 Hölder 连续性（λ < H）以确保黎曼-斯蒂尔杰斯积分的存在性，并控制变差范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由分数布朗运动驱动的随机扫掠过程在斯科罗霍德问题意义下存在唯一解？
• RQ2 调节过程 K_t 的 p-变差如何与驱动信号及障碍动力学的 p-变差相关联？
• RQ3 经典的斯科罗霍德问题框架能否推广至非半鞅噪声（如分数布朗运动）的情形？
• RQ4 何种条件可确保 fBm 驱动扫掠过程的数值格式收敛？
• RQ5 在 p-变差拓扑下，解对漂移、扩散及障碍函数扰动的行为如何？

主要发现

• 在系数与障碍具有适当正则性及有界 p-变差的假设下，fBm 驱动扫掠过程的解存在且唯一。
• 两个解的调节过程之差满足 p-变差估计：V_p(K^1 - K^2)_T ≤ V_p(Y^1 - Y^2)_T，其中 Y^i_t = ∫f^i(s,X^i_s)ds + ∫g^i(s,X^i_s)dB^H_s。
• 调节过程的 p-变差由驱动信号的 p-变差控制，从而在扰动下实现稳定性。
• 通过在斯科罗霍德空间 D(R+; R^d) 中的极限论证，证明了基于阶梯函数逼近的数值格式收敛性。
• 通过将半鞅积分替换为路径积分的黎曼-斯蒂尔杰斯积分，将经典布朗运动结果推广至分数布朗运动。
• 该理论适用于移动的凸集 C_t = [L_t, U_t]，其边界为右连续、有界 p-变差，确保了可行性和反射性。