[论文解读] SYM-ILDL: Incomplete $LDL^{T}$ Factorization of Symmetric Indefinite and Skew-Symmetric Matrices

Chen Greif, Shiwen He+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用 6

一句话总结

SYM-ILDL 引入了一种新颖的 C++ 模板化软件包，用于对对称不定矩阵和实斜对称矩阵进行不完全 LDLᵀ 分解，采用基于 Crout 的算法，结合先进的主元选择（Bunch-Kaufman、rook）和重排序（AMD、RCM）。该方法在迭代求解器中实现了卓越的收敛性能——尤其在使用 rook 主元选择时——同时仅需 ILUTP 约 2/3 的内存，显著提升了对流-扩散问题的性能表现。

ABSTRACT

SYM-ILDL is a numerical software package that computes incomplete $LDL^{T}$ (or `ILDL') factorizations of symmetric indefinite and real skew-symmetric matrices. The core of the algorithm is a Crout variant of incomplete LU (ILU), originally introduced and implemented for symmetric matrices by [Li and Saad, Crout versions of ILU factorization with pivoting for sparse symmetric matrices, Transactions on Numerical Analysis 20, pp. 75--85, 2005]. Our code is economical in terms of storage and it deals with real skew-symmetric matrices as well, in addition to symmetric ones. The package is written in C++ and it is templated, open source, and includes a MATLAB interface. The code includes built-in RCM and AMD reordering, two equilibration strategies, threshold Bunch-Kaufman pivoting and rook pivoting, as well as a wrapper to MC64, a popular matching based equilibration and reordering algorithm. We also include two built-in iterative solvers: SQMR preconditioned with ILDL, or MINRES preconditioned with a symmetric positive definite preconditioner based on the ILDL factorization.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒、内存高效的不完全 LDLᵀ 分解方法，适用于对称不定矩阵和实斜对称矩阵，这两类矩阵在偏微分方程离散化和鞍点问题中十分常见。
• 将现有的基于 ILU 的 Crout 算法扩展至处理不定和斜对称系统，采用保持对称性的主元选择策略。
• 集成多种重排序（AMD、RCM）、平衡化（1-范数、2-范数、∞-范数）和主元选择（Bunch-Kaufman、rook）技术，以提升数值稳定性和收敛性。
• 提供两种内置的预条件迭代求解器：一种是基于 ILDL 构造的正定预条件子的 MINRES，另一种是直接由 ILDL 预条件化的 SQMR。
• 提供一个完全模板化、可扩展且开源的 C++ 库，并配备高性能 MEX 接口以支持 MATLAB，从而在科学计算中实现广泛可用性。

提出的方法

• 采用左查找型 Crout 变体的不完全 LU 分解，专为对称和斜对称矩阵设计，确保分解过程保持对称性，即 $PAP^T = LDL^T$。
• 实现基于阈值的元素剔除与填充控制，以在保持数值稳定性的同时维持稀疏性。
• 采用 Bunch-Kaufman 和 rook 主元选择策略，以处理不定和斜对称系统，避免分解失败并改善条件数。
• 集成重排序技术（AMD、RCM）和平衡化（最大范数、1-范数、2-范数），以减少填充并提升收敛性。
• 提供对 HSL_MC64 的封装，支持基于匹配的高级重排序与平衡化，提升对困难矩阵的鲁棒性。
• 通过利用斜对称情形下的 $2\times2$ 块结构，并应用 Gill 等人（1992）在对称情形下的技术，构建用于 MINRES 的正定预条件子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将基于 Crout 的不完全 LDLᵀ 分解有效扩展至实斜对称矩阵？此类矩阵具有零对角线元素，且需要使用 $2\times2$ 主元？
• RQ2 在对流-扩散问题中，SYM-ILDL 与 ILUTP 及其他最先进的预条件子（如 Scott & Tuma, 2014）相比，在收敛性和内存使用方面表现如何？
• RQ3 不同的主元选择策略（rook 与部分主元）和重排序策略（AMD 与 RCM）对预条件迭代求解器的收敛性有何影响？
• RQ4 平衡化是否能改善斜对称矩阵的 ILDL 条件数与收敛性？还是由于三对角块结构占主导，反而导致性能下降？
• RQ5 从本质上不定或斜对称的 ILDL 分解中导出的正定预条件子，在 MINRES 中的效率如何？

主要发现

• SYM-ILDL 在 GMRES 求解中收敛性能显著优于 ILUTP，且填充量相近：当 $n=125000$ 时，ILDL-rook 仅需 6 次迭代，而 ILUTP 需 58 次，且内存使用量仅为 ILUTP 的约 2/3。
• rook 主元选择策略始终优于部分主元选择，在大规模对流-扩散问题中，迭代次数最高可减少 80%。
• 对于斜对称矩阵，平衡化被发现无效甚至有害，原因在于三对角块结构占主导；因此在最终求解器配置中禁用了平衡化。
• 系统的预条件特征值高度聚集在 1 附近，表明迭代求解器收敛迅速，尤其在使用 rook 主元选择时更为显著。
• 在 $70^3$ 的对流-扩散矩阵上，ILDL-rook 于 106.81 秒内完成 5 次迭代收敛，而 ILUTP 在 876 秒内仍未收敛，凸显了 SYM-ILDL 的鲁棒性。
• MEX 接口性能与原生 C++ 版本相当，实现了与 MATLAB 工作流的无缝集成，且无性能损失。