[论文解读] Symbolic Computation of Variational Symmetries in Optimal Control

Paulo D.F. Gouveia, Delfim F. M. Torres+1 more|ArXiv.org|Apr 4, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文提出了一种在 Maple 中实现的符号计算软件包，可高效计算最优控制问题中的变分对称性及其相关的 Noether 第一积分，包括存在规范项和非保守力的情况。主要贡献在于首次自动化推导出子黎曼芽丛幂零问题 (2,3,5,8) 的八个独立第一积分，使该问题的可积性分析得以超越 Liouville 定理的限制。

ABSTRACT

We use a computer algebra system to compute, in an efficient way, optimal control variational symmetries up to a gauge term. The symmetries are then used to obtain families of Noether's first integrals, possibly in the presence of nonconservative external forces. As an application, we obtain eight independent first integrals for the sub-Riemannian nilpotent problem (2,3,5,8).

研究动机与目标

• 开发一种用于高效计算最优控制问题中变分对称性的计算机代数系统。
• 将现有方法扩展至包含规范项不变性以及非保守外力的情形。
• 利用符号计算自动化计算 Noether 的第一积分。
• 将该方法应用于复杂问题，如子黎曼芽丛幂零系统 (2,3,5,8)。
• 通过发现八个独立的第一积分，证明 (2,3,5,8) 系统的可积性。

提出的方法

• 该方法使用自定义的 Maple 软件包，对由拉格朗日泛函和控制系统描述的最优控制问题进行变分对称性的符号计算。
• 将 Noether 定理推广至包含规范项不变性的情形，从而扩大其在非保守系统中的适用范围。
• 通过引入修正的伴随系统，将非保守力纳入扩展的 Pontryagin 最大值原理框架中。
• 利用最大化条件的驻定性要求，计算哈密顿量和极值控制。
• 通过求解对称性条件，并经代入与化简验证守恒律，推导第一积分。
• 通过计算 (2,3,5,8) 子黎曼问题的八个独立第一积分，验证了该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在存在非保守力的最优控制问题中高效计算变分对称性及其相关第一积分？
• RQ2 符号计算框架能否处理最优控制系统中规范项不变性的情形？
• RQ3 对于高维幂零最优控制问题，推导第一积分的计算可行性如何？
• RQ4 当 Liouville 定理的泊松括号条件不满足时，多个独立第一积分的存在是否仍能表明系统的可积性？
• RQ5 符号计算工具如何实现子黎曼几何中守恒律推导的自动化？

主要发现

• 本文成功计算出子黎曼芽丛幂零问题 (2,3,5,8) 的八个独立第一积分，这一结果在以往文献中尚未实现。
• 在八个第一积分中，七个为平凡情形：哈密顿量 H 以及伴随变量 ψ₃, ψ₄, ψ₅, ψ₆, ψ₇, ψ₈ 均为常数守恒。
• 第八个第一积分为非平凡情形：ψ₂ + x₃ψ₅ + x₄ψ₇ + x₅ψ₈ 守恒，表明存在非平凡的对称结构。
• 尽管 ψ₃ 与非平凡第一积分之间的泊松括号非对易，系统仍为可积，说明 Liouville 定理不适用。
• 符号计算软件包相较于以往实现显著提升了效率，使此前难以处理的情形得以计算。
• 该方法展示了利用计算机代数系统在复杂几何最优控制问题中自动化推导守恒律的可行性。