[论文解读] Symbolic dynamics for surface diffeomorphisms with positive topological entropy

Omri Sarig|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文为具有正拓扑熵的曲面微分同胚构造了一个可数的马尔可夫划分，使得在任意低于拓扑熵的熵阈值下，可在全测度不变集上实现符号动力系统。关键结果证明了 J. Buzzi 的猜想：此类系统至多有可数个最大熵的遍历测度，并证实了 A. Katok 关于周期点指数增长的猜想，即对 C^1+β 微分同胚有 limsup e^{-nh_top}P_n(f) > 0。

ABSTRACT

Suppose f is a C^{1+ε} surface diffeomorphism with positive topological entropy. For every positive δstrictly smaller than the topological entropy of f we construct an invariant Borel set E such that (a) f|E has a countable Markov partition; and (b) E has full measure with respect to any ergodic invariant probability measure with entropy larger than δ. This allows us to prove the following conjecture of A. Katok: if f is C^\infty with topological entropy h>0, and if P_n(f)=#{x:f^n(x)=x}, then limsup P_n(f)/exp(nh)>0.

研究动机与目标

• 通过可数的马尔可夫划分，为具有正拓扑熵的 C^1+β 曲面微分同胚建立符号动力系统。
• 解决 J. Buzzi 关于最大熵遍历测度可数性的猜想。
• 证明 A. Katok 的猜想：对于紧曲面上的 C^∞ 微分同胚，有 limsup e^{-nh_top}P_n(f) > 0。
• 构建具有有限原像和赫尔德连续编码映射的马尔可夫扩张。

提出的方法

• 利用 Pesin 理论和非一致双曲性构造局部有限的可数马尔可夫覆盖。
• 采用 Pesin 图和李雅普诺夫坐标变换将双曲点附近的动力系统线性化。
• 通过重叠图和 ε-链，利用图变换在可容许流形上建模轨道。
• 应用 Bowen–Sinai 精化构造具有符号马尔可夫性质的可数马尔可夫划分。
• 利用缩放和窗口参数控制图系统中动力窗口的大小与重叠程度。
• 通过有向图和赫尔德连续编码映射 π_χ 构建有限对一的马尔可夫扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有正拓扑熵的 C^1+β 曲面微分同胚是否至多有可数个最大熵的遍历测度？
• RQ2 对于 C^∞ 曲面微分同胚，e^{-nh_top(f)} 乘以 n-周期点数的 limsup 是否有正的下界？
• RQ3 能否为熵大于 χ < h_top(f) 的点集构造一个可数马尔可夫划分？
• RQ4 能否将动力系统半共轭于一个具有有限原像的拓扑马尔可夫移位，且在每个 χ < h_top(f) 的全测度集合上成立？
• RQ5 在迭代过程中，是否所有同一条轨道的正规链始终保持指数接近？

主要发现

• 对任意 0 < χ < h_top(f)，存在一个局部紧致的拓扑马尔可夫移位 Σ_χ 和一个赫尔德连续映射 π_χ: Σ_χ → M，使得 π_χ ∘ σ = f ∘ π_χ，且 π_χ[Σ_χ^#] 为 χ-大集。
• 该系统至多有可数个最大熵的遍历不变概率测度，证实了 Buzzi 的猜想。
• 对 C^1+β 微分同胚，若存在最大熵测度，则有 liminf_{n→∞, p|n} e^{-nh_top(f)} P_n(f) > 0。
• 对 C^∞ 曲面微分同胚，周期点数满足 limsup_{n→∞} e^{-nh_top(f)} P_n(f) > 0，证实了 Katok 的猜想。
• 同一条轨道的正规链在迭代过程中保持指数接近，距离按 e^{-nχ/2} 乘以大小比值衰减。
• 马尔可夫扩张为有限对一，π_χ 的像中每个点均有有限个原像。