[论文解读] Symbolic extensions of amenable group actions and the comparison property

Tomasz Downarowicz, Guohua Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用 9

一句话总结

本论文为可数渐近均值群作用建立了符号扩张熵定理（SEET），证明了在不变测度单纯形上的一个函数是扩张熵函数当且仅当它是系统熵结构的有限仿射上包络。关键结果将SEET推广至具有比较性质的群（如次指数群和剩余有限群）——通过使用来自铺砌系统和Følner准铺砌的拟符号扩张实现。

ABSTRACT

Symbolic Extension Entropy Theorem (SEET) describes the possibility of a lossless digitalization of a dynamical system by extending it to a subshift. It gives an estimate on the entropy of symbolic extensions (and the necessary number of symbols). Unlike in the measure-theoretic case, where Kolmogorov--Sinai entropy is the estimate, in the topological setup the task reaches beyond the classical theory of entropy. Tools from an extended theory of entropy structures are needed. The main goal of this paper is to prove the SEET for actions of countable amenable groups: Let a countable amenable group $G$ act by homeomorphisms on a compact metric space $X$ and let $\mathcal M_G(X)$ denote the simplex of $G$-invariant probability measures on $X$. A function $E $ on $\mathcal M_G(X)$ equals the extension entropy function $h^π$ of a symbolic extension $π:(Y,G) o (X,G)$, where $h^π(μ)=\sup\{h_ν(Y,G): ν\inπ^{-1}(μ)\}$ ($μ\in\mathcal M_G(X)$), if and only if $E $ is an affine superenvelope of the entropy structure of $(X,G)$. The statement is preceded by presentation of the concepts of an entropy structure and superenvelopes, adapted from $\mathbb Z$-actions. In full generality we prove a slightly weaker version of SEET, in which symbolic extensions are replaced by quasi-symbolic extensions, i.e., extensions in form of a joining of a subshift with a zero-entropy tiling system. The notion of a tiling system is a subject of earlier works and in this paper we review and complement the theory developed there. The full version of the SEET is proved for groups which are either residually finite or enjoy the comparison property. In order to describe the range of our theorem, we devote a large portion of the paper to the comparison property. Our main result in this aspect shows that all subexponential groups have the comparison property (and thus satisfy the SEET).

研究动机与目标

• 将符号扩张熵定理（SEET）从ℤ-作用推广至可数渐近均值群的作用。
• 刻画在不变测度单纯形上哪些函数可作为符号扩张的扩张熵函数。
• 引入并研究比较性质在实现真正符号扩张而非拟符号扩张中的作用。
• 发展可编码铺砌系统的理论及其在构造低熵符号扩张中的应用。
• 证明所有次指数群均满足比较性质，从而使得此类群的SEET完整成立。

提出的方法

• 将ℤ-作用下的熵结构与上包络理论推广至一般可数渐近均值群作用。
• 将拟符号扩张定义为零熵铺砌系统与子移位的联合，从而可构造出熵受控的符号扩张。
• 引入具有完全可识别性和不相交性的Følner准铺砌系统，以块码编码动力系统。
• 引入可编码铺砌系统的概念，确保铺砌结构可被编码为具有零拓扑熵的子移位。
• 证明比较性质（通过Banach密度与Følner序列定义）蕴含符号扩张的存在性。
• 在两个符号上构造出具有零拓扑熵的完全可编码Følner系统不相交准铺砌，从而实现最小符号编码。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些可数渐近均值群上，符号扩张熵定理能以完整形式成立？
• RQ2 何种群作用条件可确保在不变测度单纯形上的给定函数是某个符号扩张的扩张熵函数？
• RQ3 如何利用铺砌系统与准铺砌构造出熵最小的符号扩张？
• RQ4 比较性质与渐近均值群作用中符号扩张存在性之间有何关系？
• RQ5 哪些群类（如次指数群、剩余有限群）满足比较性质，从而可实现完整的SEET？

主要发现

• 在单纯形 $ \fancyscript{M}_G(X) $ 上的函数 $ E_{\text{A}} $ 是符号扩张的扩张熵函数，当且仅当它是系统 $ (X,G) $ 的熵结构的有限仿射上包络，从而在具有比较性质的群上确立了完整的SEET。
• 完整的SEET对所有剩余有限群和所有次指数群均成立，这些群已被证明满足比较性质。
• 所有次指数群均具有比较性质，这意味着它们可实现熵精确匹配熵结构上包络的符号扩张。
• 在两个符号上存在一个完全可编码的Følner系统不相交准铺砌，其拓扑熵为零，从而实现最小符号编码的符号扩张。
• 比较性质通过Banach密度与Følner序列被刻画，为符号扩张的存在性提供了群论判别准则。
• 拟符号扩张——即零熵铺砌系统与子移位的联合——被用于在一般情形下证明SEET的弱化版本；而完整定理的成立需依赖比较性质。