[论文解读] Symbolic Hamburger-Noether expressions of plane curves and construction of AG codes

Antonio Campillo, José Ignacio Farrán|ArXiv.org|Oct 28, 1999

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文引入符号化的汉堡-诺伊曼表达式，以算法方式计算平面曲线有理奇点处的黎曼-罗赫空间 L(G) 和魏尔斯特拉斯半群，从而通过结合汉堡-诺伊曼展开与虚拟通过条件的符号计算，实现代数几何（AG）码（包括冯- Rao 一重点码）的有效构造与解码。

ABSTRACT

We present an algorithm to compute bases for the spaces L(G), provided G is a rational divisor over a non-singular absolutely irreducible algebraic curve, and also another algorithm to compute the Weierstrass semigroup at P together with functions for each value in this semigroup, provided P is a rational branch of a singular plane model for the curve. The method is founded on the Brill-Noether algorithm by combining in a suitable way the theory of Hamburger-Noether expansions and the imposition of virtual passing conditions. Such algorithms are given in terms of symbolic computation by introducing the notion of symbolic Hamburger-Noether expressions. Everything can be applied to the effective construction of Algebraic Geometry codes and also in the decoding problem of such codes, including the case of the Feng and Rao scheme for one-point codes.

研究动机与目标

• 开发用于在非奇异代数曲线上对有理除子 G 计算黎曼-罗赫空间 L(G) 的算法方法。
• 计算平面曲线奇异有理分支处的魏尔斯特拉斯半群及其相关函数。
• 提供一个符号框架，将汉堡-诺伊曼展开与虚拟通过条件相结合，以实现算法上的有效性。
• 支持代数几何码（特别是冯- Rao 方案下的）一重点码的构造与解码。
• 通过基于代数几何的符号计算技术，实现 AG 码的实际可计算实现。

提出的方法

• 引入符号化的汉堡-诺伊曼表达式作为表示和代数操作局部曲线奇点的计算工具。
• 将布里尔-诺伊曼算法与汉堡-诺伊曼展开结合，系统地计算 L(G) 空间的基。
• 应用虚拟通过条件以符号方式强制执行除子条件，确保线性系列计算的正确性。
• 利用符号框架提取魏尔斯特拉斯半群的生成元及其对应于每个间隙与非间隙的函数。
• 以与符号计算系统兼容的方式实现算法，确保可复现性与高效性。
• 利用平面曲线奇点的结构，降低在有理分支处计算魏尔斯特拉斯半群的复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用符号方法有效计算非奇异代数曲线上有理除子的黎曼-罗赫空间 L(G)？
• RQ2 何种符号表示能够实现对平面曲线奇异有理分支处魏尔斯特拉斯半群的算法计算？
• RQ3 如何将汉堡-诺伊曼展开与虚拟通过条件结合，以算法方式计算线性系列？
• RQ4 符号化的汉堡-诺伊曼表达式在冯- Rao 方案下如何支持一重点 AG 码的构造？
• RQ5 何种计算框架能够通过符号代数几何同时实现 AG 码的构造与解码？

主要发现

• 作者提出了一套完整的算法框架，利用符号化的汉堡-诺伊曼表达式计算 L(G) 空间的基。
• 该方法成功计算出平面曲线有理奇点处的魏尔斯特拉斯半群及其相关函数。
• 汉堡-诺伊曼展开与虚拟通过条件的结合，实现了对线性系列的精确且系统的计算。
• 该方法在通过符号计算实现一重点 AG 码（包括冯- Rao 方案下的码）的构造方面具有有效性。
• 符号框架确保所有计算均为算法化、可复现的，并适用于计算机代数系统实现。
• 该方法通过利用计算得到的半群结构与函数基，为 AG 码的解码问题提供了构造性解决方案。