[论文解读] Symbolic Iterated Function Systems, Fast Basins and Fractal Manifolds

Michael F. Barnsley, Andrew Vince|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文引入分支分形流形作为拓扑与几何框架，用于分析迭代函数系统（IFS）中快速吸引域的结构，其中快速吸引域是指其轨道与吸引子相交的点的集合。研究证明，快速吸引域可具有非整数维数，并通过扩展码空间中的地址标识构建，揭示了吸引子广义分形放大结构的非同胚、等距复制的并集。

ABSTRACT

The fast basin of an attractor of an iterated function system (IFS) is the set of points in the domain of the IFS whose orbits under the associated semigroup intersect the attractor. Fast basins can have non-integer dimension and comprise a class of deterministic fractal sets. The relationship between the basin and the fast basin of a point-fibred attractor is analyzed. To better understand the topology and geometry of fast basins, and because of analogies with analytic continuation, branched fractal manifolds are introduced. A branched fractal manifold is a metric space constructed from the extended code space of a point-fibred attractor, by identifying some addresses. Typically, a branched fractal manifold is a union of a nondenumerable collection of nonhomeomorphic objects, isometric copies of generalized fractal blowups of the attractor.

研究动机与目标

• 分析迭代函数系统点纤维吸引子中快速吸引域的拓扑与几何结构。
• 解决现有框架在理解快速吸引域分形性质方面，对标准吸引域集之外的不足。
• 引入分支分形流形作为一类新的确定性分形集，用于建模快速吸引域的复杂结构。
• 建立快速吸引域几何与解析延拓等概念之间的联系，借助符号动力学与码空间扩展。

提出的方法

• 构建点纤维吸引子的扩展码空间，以表示所有可能的地址序列。
• 将快速吸引域定义为在IFS半群作用下其轨道与吸引子相交的点的集合。
• 通过在扩展码空间中识别特定地址，引入商拓扑以形成分支分形流形。
• 将所得流形表征为广义分形放大结构的等距复制的并集。
• 利用符号动力学与基于地址的识别，建模流形中非同胚的组成部分。
• 借助与解析延拓的类比，支持拓扑构造并解释分支行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拓扑与几何上，快速吸引域与迭代函数系统中标准吸引域有何不同？
• RQ2 扩展码空间在表征快速吸引域结构中起什么作用？
• RQ3 如何通过码空间中的地址识别，形式化构造分支分形流形？
• RQ4 吸引子的几何结构与分支分形流形的组成部分之间存在何种关系？
• RQ5 分支分形流形在何种意义上推广了经典分形放大结构，并捕捉到非整数维数行为？

主要发现

• 在点纤维IFS吸引子中，快速吸引域可具有非整数Hausdorff维数，表明其具有确定性分形特性。
• 分支分形流形是通过在扩展码空间中识别特定地址，作为商空间构造而成，形成非同胚组成部分的并集。
• 分支分形流形的每个组成部分均为吸引子广义分形放大结构的等距复制。
• 该流形结构揭示了一个复杂、不可数的几何对象并集，其各部分彼此之间不具有同胚关系。
• 该构造通过符号动力学建立了快速吸引域几何与解析延拓之间的正式联系。
• 该框架为快速吸引域提供了超越传统吸引域分析的拓扑与几何模型。