[论文解读] Symbolic Models for Stochastic Switched Systems: A Discretization and a Discretization-Free Approach

Majid Zamani, Alessandro Abate+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文提出了两种用于随机切换系统的符号抽象技术：一种需要状态空间离散化，另一种则无需离散化，两者在稳定性假设下均能生成近似双芽等价的有限模型。主要贡献在于通过在这些符号模型上使用自动机理论方法，实现了对复杂逻辑规格（如线性时序逻辑）的正式控制器综合，已在六间房建筑温控案例研究中得到验证，性能表现可靠。

ABSTRACT

Stochastic switched systems are a relevant class of stochastic hybrid systems with probabilistic evolution over a continuous domain and control-dependent discrete dynamics over a finite set of modes. In the past few years several different techniques have been developed to assist in the stability analysis of stochastic switched systems. However, more complex and challenging objectives related to the verification of and the controller synthesis for logic specifications have not been formally investigated for this class of systems as of yet. With logic specifications we mean properties expressed as formulae in linear temporal logic or as automata on infinite strings. This paper addresses these complex objectives by constructively deriving approximately equivalent (bisimilar) symbolic models of stochastic switched systems. More precisely, this paper provides two different symbolic abstraction techniques: one requires state space discretization, but the other one does not require any space discretization which can be potentially more efficient than the first one when dealing with higher dimensional stochastic switched systems. Both techniques provide finite symbolic models that are approximately bisimilar to stochastic switched systems under some stability assumptions on the concrete model. This allows formally synthesizing controllers (switching signals) that are valid for the concrete system over the finite symbolic model, by means of mature automata-theoretic techniques in the literature. The effectiveness of the results are illustrated by synthesizing switching signals enforcing logic specifications for two case studies including temperature control of a six-room building.

研究动机与目标

• 为解决在复杂逻辑规格下对随机切换系统进行验证与控制器综合的正式方法缺失问题。
• 开发与随机切换系统近似双芽等价的有限符号模型，确保控制器综合的正确性保障。
• 提出两种抽象方法——一种采用状态空间离散化，另一种不采用，以在精度与计算效率之间取得平衡。
• 使成熟自动机理论技术可用于在抽象模型上进行控制器综合，并将结果映射回原系统。
• 通过一个涉及六间房建筑温控的现实世界案例研究验证该方法，规格为LTL形式。

提出的方法

• 利用公共或多个 δ-GAS-Mq 李雅普诺夫函数构造近似双芽等价的符号模型，以确保稳定性与有界近似误差。
• 在第一种方法中采用状态空间离散化，精度由李雅普诺夫函数界与采样时间 τ 导出的参数 ε 控制。
• 通过引入输入集离散化与时间范围 N，提出一种无离散化方法，相比完整状态空间离散化显著减小模型规模。
• 使用 CoSyMA 工具高效计算符号抽象，并报告计算指标（CPU 时间、内存使用）以验证结果。
• 在有限符号模型上应用自动机理论综合方法，生成满足 LTL 规格的切换信号。
• 通过经验模拟验证抽象质量，将轨迹到目标集合的平均距离与理论精度界限进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在稳定性假设下为随机切换系统构造出近似双芽等价的有限符号模型？
• RQ2 如何在随机切换系统上实现对复杂逻辑规格（如 LTL 公式）的控制器综合？
• RQ3 在使用状态空间离散化与无离散化方法时，计算效率与精度之间的权衡如何？
• RQ4 对于高维系统，无离散化方法是否能显著减小符号模型的规模？
• RQ5 所综合的控制器在实际中表现如何，特别是在保持轨迹在目标集合内的能力方面？

主要发现

• 采用状态空间离散化的符号模型 $ S_{\text{q}}(\tilde{Σ}_{\tau_d}) $ 具有 9,310,320 个状态，占用 3.4 MB 内存，使用 3.5 GHz i7 CPU 在 22 秒内计算完成。
• 无离散化符号模型 $ \overline{S}_{\overline{\text{q}}}(\tilde{\u03a3}_{\tau_d}) $ 具有 4,194,304 个状态，约为离散化模型规模的一半。
• 针对 LTL 规格 $ \Box\mathsf{D} \land \Box\neg\mathsf{Z} $ 的控制器综合耗时 12.46 秒，确保轨迹始终位于安全集合 $ \mathsf{D} $ 内并避开不安全集合 $ \mathsf{Z} $。
• 轨迹到安全集合 $ \mathsf{D} \setminus \mathsf{Z} $ 的经验平均距离显著低于理论精度 $ \varepsilon = 1.2 $，表明实际性能更优。
• 该方法成功在六间房建筑温控案例研究中合成出满足逻辑规格的切换信号，展示了可扩展性与正确性。
• 在模型规模方面，可依据选择离散化或无离散化方法，后者在高维系统中更具计算效率。