[论文解读] SymBuild: a package for the computation of integrable symbols in scattering amplitudes

Vladimir Mitev, Yang Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文介绍了 SymBuild，这是一个 Mathematica 工具包，可高效计算和处理散射振幅中的可积符号——这是高能物理现代bootstrap程序中的关键对象。通过利用Gröbner基、符号简化，以及与C++库SpaSM集成以实现高性能线性代数运算，SymBuild能够在包含根的复杂字母表中计算高权可积符号（最高至权8），显著加速了量子场论中的振幅计算。

ABSTRACT

The article presents and documents the Mathematica package SymBuild. This package implements the computation and manipulation of integrable symbols appearing in various calculations in high-energy scattering amplitudes. By using Gröbner bases, implementing various simplifications and by the potential utilization of the C++ program SpaSM, integrable symbols in a large class of alphabets (including roots) can be computed to high weights.

研究动机与目标

• 解决由于求解高权符号的大型可积性条件和n阶条件而引起的振幅bootstrap程序中的计算瓶颈。
• 提供一个可扩展、用户友好的工具，用于在包括代数字母和根在内的广泛字母表类中计算可积符号。
• 实现对符号的高效操作，以支持后续步骤，如计算导数、极限，以及求解来自共线极限和软极限的约束条件。
• 通过利用SpaSM进行优化的线性代数运算，支持高圈阶振幅计算，以应对符号空间大小的指数级增长。

提出的方法

• 该工具包使用Gröbner基技术系统性地求解定义有效符号函数的可积性条件。
• 实现了符号简化，以降低中间表达式的复杂度并提升性能。
• 对于大规模线性代数问题，它与C++库SpaSM集成，以实现并行化、高性能的可积性张量计算。
• 通过将根视为代数字母并应用专门的简化规则，该工具包支持包含根的字母表。
• 它提供了一个结构化的Mathematica接口，包含模块化函数，用于符号生成、可积性检查和符号操作。
• 通过在已知字母表（包括具有9个字母的6点对偶超共形字母表）上的基准计算对实现进行了验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种系统且高效的计算框架，用于在任意字母表（包括含根的字母表）中生成高权的可积符号？
• RQ2 在实际振幅计算中，如何缓解符号数量和可积性张量规模的指数级增长问题？
• RQ3 将外部高性能线性代数库（如SpaSM）集成，能在多大程度上提升散射振幅中符号计算的可扩展性？
• RQ4 是否能够自动化计算在真实散射过程（如N=4超 Yang-Mills 或 QCD）中出现的字母表的可积符号？
• RQ5 当应用于更高圈阶振幅时，振幅bootstrap方法在理论和实践上的极限是什么？

主要发现

• 该工具包在标准笔记本电脑上仅用约90秒，成功计算出具有9个字母的6点对偶超共形字母表的5,897个权8可积符号。
• 对于同一字母表，使用SpaSM在高内存集群上计算权8的可积性张量耗时约13,000秒，证明了该方法的可扩展性。
• 在标准笔记本电脑上，计算非平面5粒子字母表（31个字母，含一个根）的权4可积符号耗时约15分钟，展示了其实际可用性。
• 可积符号的数量随权的增加而迅速增长，例如，6点字母表的符号数从权3的26个增至权7的1,929个，凸显了计算挑战。
• 与仅使用Mathematica相比，集成SpaSM显著缩短了计算时间：在相同硬件上，权8的计算时间从约13,000秒降至约1,000秒。
• 该工具包通过仔细的简化和代数运算，将符号形式化扩展至代数字母，从而能够处理非有理字母表，包括含根的字母表。