[论文解读] Symmetric and Asymptotically Symmetric Permutations

Joshua Cooper, Andrew Petrarca|ArXiv.org|Jan 28, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文研究对称及渐近对称排列，重点探讨排列中模式计数恰好等于均匀随机分布下期望值的条件。引入了“可膨胀”排列的概念，并通过排列收缩推导出模式统计的递归公式，证明了精确k-对称性仅在k!整除二项式系数C(n,k)时可能成立，其中k=4时满足条件的最小n为64。

ABSTRACT

We consider two related problems arising from a question of R. Graham on quasirandom phenomena in permutation patterns. A ``pattern'' in a permutation $σ$ is the order type of the restriction of $σ: [n] o [n]$ to a subset $S \subset [n]$. First, is it possible for the pattern counts in a permutation to be exactly equal to their expected values under a uniform distribution? Attempts to address this question lead naturally to an interesting number theoretic problem: when does $k!$ divide $\binom{n}{k}$? Second, if the tensor product of a permutation with large random permutations is random-like in its pattern counts, what must the pattern counts of the original permutation be? A recursive formula is proved which uses a certain permutation ``contraction.''

研究动机与目标

• 确定排列是否能对所有k-模式类型实现恰好相等的计数，使其与均匀随机分布下的期望值一致。
• 研究排列模式中的向上蕴含问题，类比于准随机图：若k-模式计数均匀，是否(k+1)-模式计数也均匀？
• 确定k-对称排列存在的必要与充分条件，特别关注k! | C(n,k)这一可除性条件。
• 开发一种递归方法，用于计算通过随机排列膨胀后的排列中的模式统计，从而基于排列收缩得出公式。
• 计算最小的n = f(k)，使得非平凡的k-对称排列可能存在，明确计算至k=8的值。

提出的方法

• 引入“可膨胀”排列的概念，即在与大随机排列进行张量积时，能保持类似随机的模式统计特性。
• 通过在排列上使用“收缩”运算，开发一种递归公式，用于计算排列中k-模式出现的次数。
• 利用生成函数方法，通过排列π ∈ Π^τ_t及其对应商τ/π的表格来计算模式计数。
• 应用公式Y_τ(m) = m^k / (k!)^2 - Σ涉及较小模式Y_ρ的项，其系数基于划分中块大小的阶乘。
• 通过分析p-进赋值ν_p(n(n-1)...(n-k+1)) ≥ 2e_p(k)对所有素数p，分析可除性条件k! | C(n,k)。
• 计算最小模数T(k)，使得可除性条件仅依赖于n mod T(k)，并将f(k)确定为满足alldiv_k(n)的最小n ≥ k。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些整数n和k，二项式系数C(n,k)除以k!的结果为整数，从而在排列中实现精确k-对称性？
• RQ2 是否存在一种排列，使得每个k-模式恰好出现C(n,k)/k!次？其存在的必要与充分条件是什么？
• RQ3 若排列中k-模式计数均匀，是否意味着(k+1)-模式计数也均匀？这与准随机图的情形是否类似？
• RQ4 最小的n = f(k)是多少，使得k!整除C(n,k)，这与非平凡k-对称排列的存在性有何关联？
• RQ5 当排列通过随机排列膨胀时，如何递归计算其模式统计？其背后的结构是什么？

主要发现

• 本文证明，当k=4时，使得C(n,k)/k!为整数的最小n ≥ k为n = 64，因此64是可能存在非平凡4-对称排列的最小候选值。
• 对于k=3，本文确认了非平凡3-对称排列的存在，并给出了以m表示的每种3-模式类型的显式公式。
• 长度为m的排列中，类型(1234)的4-模式数量为Y_{(1234)}(m) = m(m-1)(m² - 11m + 44)/576。
• 类型(1243)的4-模式数量为Y_{(1243)}(m) = m(m-1)(m-2)(m-5)/576，且对S_4中的全部24个排列均推导出类似闭式表达。
• 计算出使可除性条件k! | C(n,k)仅依赖于n mod T(k)的最小模数T(k)，其中T(4) = 288，T(5) = 7200。
• 函数f(k)（即满足alldiv_k(n)的最小n ≥ k）被计算为：f(1)=1，f(2)=4，f(3)=9，f(4)=64，f(5)=128，f(6)=352，f(7)=1377，f(8)=180225。