[论文解读] Symmetric and skew-symmetric block-Kronecker linearizations

Heike Faßbender, Javier Pérez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出对称与斜对称块-Kronecker线性化，作为奇数次或偶数次矩阵多项式的一种统一、结构保持的框架。通过利用极小基铅笔，该方法在不考虑正则性的情况下确保强线性化，从而可直接恢复特征向量、最小索引与基——提供了一种比带重复的Fiedler铅笔更简单的替代方案，同时涵盖了已知的伴侣形式。

ABSTRACT

Many applications give rise to structured matrix polynomials. The problem of constructing structure-preserving strong linearizations of structured matrix polynomials is revisited in this work and in the forthcoming ones \cite{PartII,PartIII}. With the purpose of providing a much simpler framework for structure-preserving linearizations for symmetric and skew-symmetric matrix polynomial than the one based on Fiedler pencils with repetition, we introduce in this work the families of (modified) symmetric and skew-symmetric block Kronecker pencils. These families provide a large arena of structure-preserving strong linearizations of symmetric and skew-symmetric matrix polynomials. When the matrix polynomial has degree odd, these linearizations are strong regardless of whether the matrix polynomial is regular or singular, and many of them give rise to structure-preserving companion forms. When some generic nonsingularity conditions are satisfied, they are also strong linearizations for even-degree regular matrix polynomials. Many examples of structure-preserving linearizations obtained from Fiedler pencils with repetitions found in the literature are shown to belong (modulo permutations) to these families of linearizations. In particular, this is shown to be true for the well-known block-tridiagonal symmetric and skew-symmetric companion forms. Since the families of symmetric and skew-symmetric block Kronecker pencils belong to the recently introduced set of minimal bases pencils \cite{Fiedler-like}, they inherit all its desirable properties for numerical applications. In particular, it is shown that eigenvectors, minimal indices, and minimal bases of matrix polynomials are easily recovered from those of any of the linearizations constructed in this work.

研究动机与目标

• 开发一种更简单、统一的框架，用于对称与斜对称矩阵多项式的结构保持线性化。
• 通过引入一类新的块-Kronecker铅笔，克服现有方法（如DL(P)铅笔与带重复的Fiedler铅笔）的局限性。
• 确保对正则与奇异矩阵多项式（尤其是奇数次情形）均实现强线性化。
• 实现从线性化中无需复杂变换即可直接恢复特征向量、最小索引与最小基。
• 证明众所周知的伴侣形式（如块三对角形式）是所提族类的特例。

提出的方法

• 引入两类新族：对称与斜对称块-Kronecker铅笔及其改进变体，均源自极小基铅笔。
• 通过包含 $ P_k $、$ I_n $、$ ext{sign}( au) I_n $ 与 $ ext{sign}( au) au I_n $ 的特定结构块矩阵构造线性化，其中 $ au = ext{sign}( ext{对称性}) $。
• 应用反转运算 $ ext{rev}P( au) = au^d P(1/ au) $，将反转多项式的线性化变换回原始域。
• 利用极小基铅笔与强极小基铅笔理论，保证其结构与数值性质。
• 采用置换等价性证明已知伴侣形式（如块三对角）是所提线性化的特例。
• 通过块提取推导显式特征向量恢复过程，特别关注线性化特征向量的第 $ (t+1) $ 个块。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为对称与斜对称矩阵多项式的结构保持线性化开发一种统一且更简单的框架？
• RQ2 对称与斜对称块-Kronecker铅笔是否对正则与奇异矩阵多项式（尤其是奇数次情形）均提供强线性化？
• RQ3 这些线性化能否以直接方式恢复原矩阵多项式的特征向量、最小索引与最小基？
• RQ4 著名的结构化伴侣形式（如块三对角）是否可作为该新框架中的特例被恢复？
• RQ5 在较弱非奇异条件下，能否为偶数次矩阵多项式构造结构保持的强线性化？

主要发现

• 所提出的对称与斜对称块-Kronecker铅笔对奇数次矩阵多项式（无论是否正则）均为强线性化。
• 对于首项或末项系数非奇异的偶数次正则矩阵多项式，其改进型块-Kronecker铅笔可产生强线性化。
• 最简单的对称与斜对称块-Kronecker铅笔是众所周知的块三对角伴侣形式的置换版本。
• 矩阵多项式的特征向量可直接从线性化特征向量的第 $ (t+1) $ 个块恢复，其中 $ t = d/2 $ 对应偶数次情形。
• 由于极小基结构，矩阵多项式的最小索引与最小基可轻松从线性化的对应量恢复。
• 该框架涵盖了现有的带重复的Fiedler铅笔，表明它们在置换下是所提族类的特例。