[论文解读] Symmetric Chromatic Polynomial of Trees

Isaac Smith, Zane Smith+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用 12

一句话总结

本文研究斯坦利猜想：对称色多项式可区分非同构的树。通过计算机化枚举至23个顶点的树，作者计算k-切割（边子集划分）以识别非同构树共享相同对称色多项式的最小反例。关键贡献在于识别出在1-、2-、3-和4-切割下匹配的最小树对，揭示了关于重心处分支交换的结构模式。

ABSTRACT

In a 1995 paper Richard Stanley defined $X_G$, the symmetric chromatic polynomial of a Graph $G=(V,E)$. He then conjectured that $X_G$ distinguishes trees; a conjecture which still remains open. $X_G$ can be represented as a certain collection of integer partitions of $|V|$ induced by each $S\subseteq E$, which is very approachable with the aid of a computer. Our research involved writing a computer program for efficient verification of this conjecture for trees up to 23 vertices. In this process, we also gather trees with matching collections of integer partitions of a fixed number of parts. For each $k=2, 3, 4, 5$, we provide the smallest pair of trees whose partitions of $k$ parts agree. In 2013, Orellana and Scott give a proof of a weaker version of Stanely's conjecture for trees with one centroid. We prove a similar result for arbitrary trees, and provide examples to show that this result, combined with that of Orellana and Scott, is optimal.

研究动机与目标

• 通过计算验证斯坦利猜想：对称色多项式可区分非同构的树。
• 识别出在k = 1, 2, 3, 4时共享相同k-切割的非同构树的最小对。
• 分析具有相同k-切割的树的结构模式，特别是基于重心的分支交换。
• 测试关于具有单重心树的先前结果的最优性，并将其扩展至任意树。
• 推测一种通过中心边分割生成具有相同k-切割的树的一般机制。

提出的方法

• 使用公式 $X_G = \sum_{S \subseteq E} (-1)^{n-1-|S|} p_{\theta_G(S)}$，通过幂和对称多项式表示对称色多项式 $X_G$，其中 $\theta_G(S)$ 是在移除边子集 $S$ 后各连通分量的顶点数划分。
• 将所有子集 $S \subseteq E$ 的整数划分 $\theta_G(S)$ 的多重集作为 $X_G$ 的规范表示，因为其唯一确定对称多项式。
• 实现计算机算法，枚举至23个顶点的所有非同构树，并计算其在 $k = 1, 2, 3, 4$ 时的k-切割多重集。
• 将k-切割定义为集合 $\{\theta_G(S) \mid |S| = k\}$，并在树之间比较这些集合，以检测具有相同k-切割的非同构树对。
• 分析最小反例对中的结构相似性，特别是涉及两顶点重心和关于中心边的对称分支交换的结构。
• 利用观察：将具有相同k-切割的两重心树的中心边分割，可产生在 $n+1$ 个顶点上具有相同k-切割的新一对树。

实验结果

研究问题

• RQ1 共享相同1-切割的非同构树的最小对是什么？其结构特征是什么？
• RQ2 奥雷利亚纳和斯科特关于标记2-切割可区分单重心树的结果，能否推广至任意树？
• RQ3 对于 $k = 2, 3, 4$，两棵非同构树具有相同k-切割所需的最小顶点数是多少？
• RQ4 是否存在一种通用的结构机制（如关于重心的分支交换），可生成具有相同k-切割的树？
• RQ5 将具有相同k-切割的最小k-切割等价树对的中心边分割，是否总能在 $n+1$ 个顶点上产生另一对这样的树？

主要发现

• 共享相同1-切割的非同构树的最小对包含7个顶点，共2棵树，占全部117棵树中的比例。
• 共享相同2-切割的最小对有10个顶点，且两棵树均为两重心树，关于中心边具有对称分支交换。
• 对于3-切割，最小例子出现在16个顶点处；对于4-切割，出现在22个顶点处，且23个顶点的树对是22个顶点树对的中心边分割结果。
• 在23个顶点时，未被2-切割区分的树的密度超过99%，表明大多数树不能被其2-切割唯一确定。
• 所有 $k=2,3,4$ 的最小反例均表现出关于两重心之间中心边的对称分支交换的结构模式。
• 数据支持一个猜想：将任意具有相同k-切割的两重心树对的中心边分割，总能产生在 $n+1$ 个顶点上具有相同k-切割的新一对树。