[论文解读] Symmetric extension of bipartite quantum states and its use in quantum key distribution with two-way postprocessing

Geir Ove Myhr|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2011

Quantum Information and Cryptography参考文献 69被引用 12

一句话总结

本文研究了两体量子态的对称扩展，表明具有对称扩展的态表现出经典行为，且在高误码率下与量子密钥分发（QKD）不相容。本文证明了任意此类态均可分解为纯对称扩展态的凸组合，并表明标准双向优势提取协议在当前六态协议的27.6%误码率阈值下无法打破对称扩展，意味着这些方法无法实现改进。

ABSTRACT

We investigate which bipartite quantum states admit a symmetric extension and apply the results in the analysis of noise thresholds in quantum key distribution protocols with two-way postprocessing. We find that states that admit a symmetric extension can be decomposed into a convex combination of states that admit a_pure_ symmetric extension. For a state to have a pure symmetric extension, its nonzero eigenvalues must be equal to the nonzero eigenvalues of one of the subsystems. While this does not fully characterize the set of states with a pure symmetric extension in all dimensions, it is a full characterization for two qubits. A conjectured formula characterizing two-qubit states with a (mixed or pure) symmetric extension is presented. Proofs are given for some special classes. For multi-qubit Bell-diagonal states, the symmetric extension is simplified using the symmetries of the states and formulated as a semidefinite program. Quantum key distribution with two-way advantage distillation steps is then analyzed. For the commonly used repetition code advantage distillation, the failure to distill a secret key beyond the currently known noise thresholds is explained by a failure to break a symmetric extension. More general linear advantage distillation schemes are analyzed, but for those schemes analyzed, we find that they tolerate strictly less noise than repetition code advantage distillation before they fail to break a symmetric extension. The results suggest that no other linear advantage distillation scheme can reach the noise threshold of 27.6 % for the six-state protocol which is achieved by repetition code advantage distillation.

研究动机与目标

• 表征所有具有对称扩展的两体量子态集合，这些态表现出经典行为且与量子优势不相容。
• 确定两比特态具有纯对称扩展的必要和充分条件，推广已知的谱条件。
• 分析对称扩展在量子密钥分发（QKD）中的作用，特别是在高误码率下的BB84协议和六态协议。
• 评估双向优势提取协议在打破对称扩展并实现安全密钥生成方面的有效性。
• 证明当前及推广的双向提取协议无法在六态QKD协议中突破27.6%的误码率阈值。

提出的方法

• 证明任何具有对称扩展的态均可分解为具有纯对称扩展态的凸组合。
• 建立局部和全局密度矩阵具有相同谱是纯对称扩展的必要条件，并证明在两比特系统中该条件亦充分。
• 分析特定类态——秩二态、对称子空间态、贝尔对角态以及$S^{/dagger} \otimes S$-不变态——提供对称扩展条件的解析证明。
• 将多比特贝尔对角态的对称扩展问题转化为半定规划（SDP），实现高效的数值分析。
• 提出一种基于秩一更新和对角修正的数值迭代构造方法，以满足线性和二次约束，生成对称扩展态。
• 通过检查优势提取协议是否能消除高误码态中的对称扩展，评估其性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 两比特量子态具有对称扩展（特别是纯对称扩展）的必要和充分条件是什么？
• RQ2 多比特贝尔对角态的对称扩展问题能否被简化为可处理的半定规划？
• RQ3 QKD中使用的标准双向优势提取协议是否能有效打破高误码区域中的对称扩展？
• RQ4 是否存在当前提取协议的推广形式，可使六态QKD协议的误码率阈值突破27.6%？
• RQ5 为何对称扩展会阻止单向后处理在高误码QKD场景中生成安全密钥？

主要发现

• 对于两比特态，局部与全局密度矩阵具有相同谱是纯对称扩展的必要且充分条件。
• 多比特贝尔对角态的对称扩展问题可重述为半定规划，从而实现高效的数值验证。
• 任何具有对称扩展的态均可表示为具有纯对称扩展态的凸组合。
• QKD中使用的标准优势提取步骤在六态协议当前27.6%的误码率阈值下无法打破对称扩展。
• 当前优势提取协议的推广形式在该阈值下同样无法打破对称扩展，意味着这些方法无法实现改进。
• 这表明六态协议的27.6%阈值在根本上受限于对称扩展在双向后处理下的持续存在。