[论文解读] Symmetric function generalizations of graph polynomials

Timothy Y. Chow|ArXiv.org|Mar 30, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 36被引用 13

一句话总结

本文引入了路径-环对称函数，作为有向图覆盖多项式的一个对称函数推广，扩展了Stanley的色数对称函数框架。它建立了一个组合对偶定理，证实了Chung和Graham的猜想：有向图的覆盖多项式决定了其补图的覆盖多项式，统一了骑士理论和图多项式中的不同结果。

ABSTRACT

In Chapter 2 we study the path-cycle symmetric function of a digraph, a symmetric function generalization of Chung and Graham's cover polynomial. Most of this material appears in either Advances in Math. 118 (1996), 71-98 or J. Algebraic Combin. 10 (1999), 227-240. Chapter 3 contains miscellaneous results about Stanley's symmetric function generalization X_G of the chromatic polynomial, e.g., we establish a connection with some of Tutte's work on the chromatic polynomial and use this to prove that X_G is reconstructible. Most of Chapter 3 does not appear elsewhere.

研究动机与目标

• 将有向图的覆盖多项式推广为对称函数，类似于Stanley对色数多项式的推广。
• 将骑士多项式和覆盖多项式的理论扩展到对称函数框架。
• 解决Chung和Graham关于有向图的覆盖多项式是否决定其补图的覆盖多项式的猜想。
• 定义一个新的对称函数基，推广二项式系数基 $\left\{\binom{x+k}{d}\right\}_{k=0}^{d}$。
• 探索色数对称函数、偏序集结构与图重构问题之间的联系。

提出的方法

• 将路径-环对称函数 $\Xi_D$ 定义为有向图 $D$ 的覆盖多项式 $C(D)$ 的对称函数推广。
• 利用 $D$ 中有向路径和环的结构，通过边集上的加权和定义生成函数。
• 在收缩格 $L_G$ 上应用Möbius反演，将 $\Xi_D$ 表示为幂和对称函数 $p_\sigma$ 的形式。
• 通过分析子图上的带符号和，并利用边子集格中的对偶性，建立对偶定理。
• 利用Stanley的色数对称函数框架，并将其扩展以包含 $X_G(t)$ 中的参数 $t$。
• 通过单色边和块结构的组合解释，推导出幂和基下的展开式。

实验结果

研究问题

• RQ1 有向图的覆盖多项式是否决定其补图的覆盖多项式？（通过组合对偶定理得到证实。）
• RQ2 覆盖多项式能否以类似于Stanley推广色数多项式的方式推广为对称函数？
• RQ3 推广 $\left\{\binom{x+k}{d}\right\}_{k=0}^{d}$ 的对称函数基的结构是什么？
• RQ4 色数对称函数 $X_G$ 在多大程度上决定了图的性质，如平面性或偏序集维数？
• RQ5 在 $X_G(t)$ 中，幂和对称函数的系数如何与图 $G$ 中的子图结构相关？

主要发现

• 路径-环对称函数 $\Xi_D$ 将覆盖多项式 $C(D)$ 推广为对称函数，扩展了Stanley的框架至有向图。
• 证明了组合对偶定理：有向图 $D$ 的覆盖多项式决定了其补图的覆盖多项式，正面回答了Chung和Graham的猜想。
• 证明了函数 $X_G(t) = \sum_{\kappa} (1+t)^{m(\kappa)} x^\kappa$ 等于 $\sum_{S \subset E(G)} t^{|S|} p_{\lambda(S)}$，其中 $\lambda(S)$ 是边集 $S$ 按连通分量大小划分的分拆。
• 对于森林 $G$，$X_G(t)$ 中每个幂和 $p_\lambda$ 的系数是 $t$ 的单项式，具体为 $t^{|V(G)| - \ell(\lambda)}$，这是由于其无环结构。
• 色数对称函数 $X_G$ 不能确定图是否为平面图，反例表明：一个含 $K_5$ 子图的非平面图与一个平面图具有相同的 $X_G$。
• 色数对称函数不能确定偏序集的维数，因为维数为2和3的偏序集的不可比图具有相同的 $X_G$。