[论文解读] Symmetric Gapped Interfaces of SPT and SET States: Systematic Constructions

Juven Wang, Xiao-Gang Wen+1 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|May 18, 2017

Surface and Thin Film Phenomena被引用 5

一句话总结

该论文通过群扩张与动力规范对称化，系统地构建了对称保护拓扑（SPT）和对称 enriched 拓扑（SET）相的对称性 gapped 边界与界面。通过群扩张 $ 1 \to K \to H \to G \to 1 $ 将全局对称性 $ G $ 扩展为更大的群 $ H $，使原本在边界上异常的 $ G $-对称性变为无异常，从而在任意维度 $ d \geq 2 $ 下实现具有有限对称群（包括时间反演和酉对称性）的 gapped 边界的精确可解格点模型。关键成果是一个统一框架，整合了对称性扩张、对称性破缺与规范对称化，实现了拓扑序且对称的 gapped 边界。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) states have boundary 't Hooft anomalies that obstruct an effective boundary theory realized in its own dimension with UV completion and an on-site $G$-symmetry. In this work, yet we show that a certain anomalous non-on-site $G$ symmetry along the boundary becomes on-site when viewed as an extended $H$ symmetry, via a suitable group extension $1 o K o H o G o1$. Namely, a non-perturbative global (gauge/gravitational) anomaly in $G$ becomes anomaly-free in $H$. This guides us to construct exactly soluble lattice path integral and Hamiltonian of symmetric gapped boundaries, always existent for any SPT state in any spacetime dimension $d \geq 2$ of any finite symmetry group, including on-site unitary and anti-unitary time-reversal symmetries. The resulting symmetric gapped boundary can be described either by an $H$-symmetry extended boundary of bulk $d \geq 2$, or more naturally by a topological emergent $K$-gauge theory with a global symmetry $G$ on a 3+1D bulk or above. The excitations on such a symmetric topologically ordered boundary can carry fractional quantum numbers of the symmetry $G$, described by representations of $H$. (Apply our approach to a 1+1D boundary of 2+1D bulk, we find that a deconfined gauge boundary indeed has spontaneous symmetry breaking with long-range order. The deconfined symmetry-breaking phase crosses over smoothly to a confined phase without a phase transition.) In contrast to known gapped interfaces obtained via symmetry breaking (either global symmetry breaking or Anderson-Higgs mechanism for gauge theory), our approach is based on symmetry extension. More generally, applying our approach to SPT, topologically ordered gauge theories and symmetry enriched topologically ordered (SET) states, leads to generic boundaries/interfaces constructed with a mixture of symmetry breaking, symmetry extension, and dynamical gauging.

研究动机与目标

• 解决在非局域全局对称性导致 't Hooft 异常' 的 SPT 和 SET 态中构造对称 gapped 边界的挑战。
• 发展一个系统性框架，统一地整合对称性扩张、对称性破缺与动力规范对称化，用于构建 gapped 边界与界面。
• 证明对于任意有限对称群 $ G $（包括酉与反酉时间反演对称性），在任意时空维度 $ d \geq 2 $ 下，此类 gapped 边界的存在性。

提出的方法

• 利用群扩张 $ 1 \to K \to H \to G \to 1 $ 来消除 $ G $-上循环，将边界上原本异常的 $ G $-对称性转化为局域的 $ H $-对称性。
• 利用扩展的 $ H $-对称性，构建 gapped 边界的精确可解格点路径积分与哈密顿量模型，确保紫外完备性与无异常性。
• 提出两类边界模型：一类具有‘硬’规范场，破坏局域性；另一类具有‘涌现的软’规范场，保持局域性。
• 应用 bordism 与群上同调方法，超越标准群上同调框架，对 SPT 与 SET 态进行分类与构造。
• 将 SPT 态中全局对称性的规范对称化作为统一原则，表明其与通过群同态构造规范理论界面等价。
• 证明不同拓扑相（如 SPT、SET、拓扑序）之间的 gapped 界面可通过结合对称性扩张与对称性破缺的混合构造实现，且需满足规范通量 holonomy 的约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对任意 $ d \geq 2 $ 维、有限对称群（包括时间反演）的 SPT 态系统地构造 gapped 对称边界？
• RQ2 SPT 态边界上非局域 $ G $-对称性的 't Hooft 异常' 如何被消除，以实现无异常的局域对称性？
• RQ3 群扩张 $ H $ 在消除阻碍对称 gapped 边界的 $ G $-上循环中起什么作用？
• RQ4 能否通过统一的对称性扩张与规范对称化框架，构造不同拓扑相（如 SPT、SET、拓扑序）之间的 gapped 界面？
• RQ5 在何种条件下，群同态 $ H \to G \times G' $ 允许在 $ G $-扭结与 $ G' $-非扭结规范理论之间构建一致的规范界面？

主要发现

• 对于任意有限对称群 $ G $，包括 $ Z_2^T $ 时间反演对称性，在任意 $ d \geq 2 $ 维中均存在对称 gapped 边界，其通过群扩张 $ H $ 构建，该扩张可消除 $ G $-上循环。
• 边界上原本异常的非局域 $ G $-对称性在作为 $ H $-对称性看待时变为局域对称性，从而使边界无异常。
• gapped 边界可实现为具有全局 $ G $-对称性的拓扑 $ K $-规范理论，其激发物携带 $ G $ 的分数量子数，通过 $ H $ 的表示实现。
• 在 1+1D 中，2+1D SPT 态的禁闭规范边界表现出自发对称性破缺与长程序，平滑地过渡至无序相而无相变。
• 通过结合对称性扩张与对称性破缺，可实现 SPT 与拓扑序相之间的 gapped 界面，前提是群同态 $ H \to G \times G' $ 定义良好且满足通量约束。
• 该框架统一了 SPT 态中全局对称性的规范对称化与规范理论界面构造，表明两种视角可通过共同的代数结构等价。