[论文解读] Symmetric Groups and Expanders

Martin Kassabov|ArXiv.org|Mar 10, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文为交错群 $\text{Alt}(n)$ 和对称群 $\text{Sym}(n)$ 构造了显式的、有界次数的生成集 $F_n$ 和 $\tilde{F}_n$，使得其凯莱图对所有充分大的 $n$ 构成一个膨胀图族。关键结果是对卡兹丹常数给出了统一的下界，证明这些群在有界次数下具有非消失的膨胀常数，从而实现膨胀图的构造。

ABSTRACT

We construct an explicit generating sets $F_n$ and $ ilde F_n$ of the alternating and the symmetric groups, which make the Cayley graphs $C(Alt(n), F_n)$ and $C(Sym(n), ilde F_n)$ a family of bounded degree expanders for all sufficiently large $n$. These expanders have many applications in the theory of random walks on groups and other areas of mathematics.

研究动机与目标

• 为 $\text{Alt}(n)$ 和 $\text{Sym}(n)$ 构造显式、有界一致的生成集，使其凯莱图构成膨胀图族。
• 为这些群建立卡兹丹常数的统一下界，确保膨胀性质不依赖于 $n$。
• 克服交错群无法表示为固定数量阿贝尔子群乘积的困难，而其他有限单群则可以。
• 将算术群（如 $\text{SL}_n(\bbZ)$）的已知方法扩展到对称群与交错群，尽管后者在经典意义下不具有性质 T。
• 为卢博茨基猜想提供构造性解答，即所有非交换有限单群均存在有界生成集，能生成膨胀图族。

提出的方法

• 使用对称群的表示论，特别是将正则表示分解为与分拆相关的不可约分量。
• 应用文献 [21] 中对称群归一化特征标的界，估计共轭类 $B$（有界支撑）的 $|\bar{\rho}_\nu(B)|$。
• 分析生成集在 $K^{5/4}$-元组上的函数空间上的作用，利用大集合 $E$ 上的随机游走混合来控制谱间隙。
• 在 $\text{Alt}(N)$ 作用于 $K^{5/4}$-元组所诱导的表示 $M$ 上定义马尔可夫算子 $\rho_2(g)$，并证明其在 8 步后谱间隙大于 $1/2$。
• 结合 $\text{Alt}(N)$-表示的估计与谱间隙控制，证明在任意酉表示中，任一非零向量在生成元作用下必具有大范数，从而推出统一的卡兹丹常数。
• 利用 $\text{Alt}(n)$ 可表示为指数增长的 $n_s = (2^{3s}-1)^6$ 对应的 $\text{Alt}(n_s)$ 的有界数量个副本乘积的事实，实现生成集的归纳构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $\text{Alt}(n)$ 和 $\text{Sym}(n)$ 构造显式、有界次数的生成集，使得其凯莱图对所有大 $n$ 均为膨胀图？
• RQ2 对于此类生成集，对称群与交错群的卡兹丹常数的最优下界是什么？
• RQ3 尽管在经典意义下不具有性质 T，凯莱图的谱间隙是否能被统一地远离零？
• RQ4 如何将用于 $\text{SL}_n(\bbZ)$ 的表示论方法适配到对称群，而后者非线性且无法由阿贝尔子群有界生成？
• RQ5 能否仅使用对合构造此类生成集，其最小大小是多少？

主要发现

• 本文构造了显式生成集 $F_n \to \text{Alt}(n)$ 和 $\tilde{F}_n \to \text{Sym}(n)$，使得对所有充分大的 $n$，凯莱图 $\text{C}(\text{Alt}(n), F_n)$ 和 $\text{C}(\text{Sym}(n), \tilde{F}_n)$ 均为有界次数的膨胀图。
• 为卡兹丹常数 $\fancyscript{K}(\text{Alt}(n); F_n)$ 建立了统一的下界 $\boxed{\frac{1}{10^6}}$，意味着谱间隙与膨胀性质的统一性。
• 对充分大的 $n$，存在大小为 10 的生成集 $\bar{F}_n$，其所有元素均为对合，且满足 $\fancyscript{K}(\text{Alt}(n); \bar{F}_n) \to 10^{-8}$，改进了下界并确保了基于对合的构造。
• 构造利用了 $\text{Alt}(n)$ 可表示为少于 $10^9$ 个 $\text{Alt}(n_s)$ 副本乘积的事实，其中 $n_s = (2^{3s}-1)^6$ 指数增长，从而实现归纳生成。
• 该方法生成的生成集 $F_n$ 大小至多为 $10^{10}$，且满足 $\fancyscript{K}(\text{Alt}(n); F_n) \to 10^{-15}$，确认了存在有界次数、非消失膨胀常数的膨胀图。
• 证明技术可类似扩展至对称群，通过相同的表示论与谱间隙论证，确立了对应生成集满足 $\fancyscript{K}(\text{Sym}(n); \tilde{F}_n) \to 10^{-15}$。