[论文解读] Symmetric Homology of Algebras

Shaun V. Ault, Fiedorowicz, Zbigniew|ArXiv.org|Aug 11, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文引入了代数的对称同调作为循环同调的类比，通过交叉单纯群框架，将循环群替换为对称群。它利用对称单纯构造和 ΔS 上的 Tor 谜函数定义对称同调，建立了基础谱序列，并通过自然映射将其与循环同调联系起来。关键结果表明 HS₀(A) = A/[A,A]，并在低度提供了链水平的描述。

ABSTRACT

In this note, we outline the general development of a theory of symmetric homology of algebras, an analog of cyclic homology where the cyclic groups are replaced by symmetric groups. This theory is developed using the framework of crossed simplicial groups and the homological algebra of module-valued functors. The symmetric homology of group algebras is related to stable homotopy theory. Two spectral sequences for computing symmetric homology are constructed. The relation to cyclic homology is discussed and some conjectures and questions towards further work are discussed.

研究动机与目标

• 开发一种代数的同调理论，类比于循环同调，但基于对称群而非循环群。
• 通过交叉单纯群，特别是对称集的范畴 ΔS，建立同调框架。
• 通过在 k[ΔS] 上的对称单纯构造和 Tor 函子定义对称同调，推广循环同调的构造。
• 将对称同调与稳定同伦理论及循环同调联系起来，并构建用于计算的谱序列。
• 在低度提供对称同调的显式链水平描述，并推测进一步的结构性质。

提出的方法

• 使用集合范畴 ΔS，其中态射的有序原像被保留，该范畴通过来自结合操作子的 Pirashvili 操作框架构造。
• 定义对称单纯构造 B^sym A: ΔS → k-模，将 [n] 映射到 A^⊗(n+1)，其中态射在纤维上作用为有序乘积。
• 应用取值于模的函子的同调代数，将对称同调计算为 Tor^ΔS_*(k̲, B^sym A)，其中 k̲ 是取值于 k 的常值函子。
• 通过按对称群阶数的滤子和 ΔS 的骨架滤子，构建两个用于计算对称同调的谱序列。
• 依赖于 ΔS 是一个交叉单纯群，其底层对称群为 Σ_{n+1}，从而可在 k[ΔS] 上使用标准同调代数。
• 利用 Vrećica–Živaljević 连通性定理，构造 k[ΔS] 上常值函子 k̲ 的有限投射解析，且对度数有良好控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过在同调框架中用对称群替代循环群，推广循环同调？
• RQ2 对结合代数而言，对称同调的结构是什么？它如何与代数的代数结构相关联？
• RQ3 能否构建用于计算对称同调的谱序列？它们的收敛性质如何？
• RQ4 对称同调与循环同调之间有何关系？它们之间的自然映射的本质是什么？
• RQ5 对称同调在低度的显式链水平描述是什么？它如何反映代数的代数对称化？

主要发现

• HS₀(A) 同构于 A/[A,A]，即 A 的对称化，确认了对称同调捕捉了代数的交换化。
• 在度数 1 时，对称同调是某个部分链复形的同调，其项为 A⊗A⊗A 和 (A⊗A⊗A⊗A)⊕A，微分算子显式涉及乘积和循环置换。
• 映射 HC*(A) → HS*(A) 由函子 b̲ 到常值函子 k̲ 的自然变换诱导，反映出循环同调是同调的商。
• 对称单纯构造可延拓为 ΔS 上的协变函子，从而通过 Tor 定义对称同调，与循环单纯构造的反变性形成对比。
• 范畴 ΔS 被实现为结合操作子的运算子范畴，为对称单纯构造提供了概念基础。
• 在 k[ΔS] 上，常值函子 k̲ 存在有限投射解析，其中在度数 i 的投射为 P_m，满足 m ≤ (3/2)(i+1)，这是由 Vrećica–Živaljević 连通性定理保证的。