[论文解读] Symmetric Jordan-Wigner transformation in higher dimensions

Hoi Chun Po|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2021

Molecular spectroscopy and chirality被引用 11

一句话总结

本文提出了一种在高维四价配位晶格上对自旋-1/2费米子的对称约旦-外尔变换，该变换在玻色子侧保持所有全局对称性——单位性和反单位性。通过使用规范不变的非局域弦构造，将费米子算符映射到自旋-1/2自由度，实现了如 Hubbard 模型和 t-J 模型的精确玻色化，同时保持了明显的局域性和对称性结构。

ABSTRACT

The Jordan-Wigner transformation is traditionally applied to one dimensional systems, but recent works have generalized the transformation to fermionic lattice systems in higher dimensions while keeping locality manifest. These developments could aid the theoretical or even experimental studies of strongly correlated electronic problems through their bosonic counterparts. In this work, we develop a scheme for higher-dimensional Jordan-Wigner transformation which keeps all relevant symmetries manifest on the bosonic side. Our approach connects the discussion of exact lattice bosonization to the familiar notions of fractionalized partons like spinons and chargeons, and works for spin-$1/2$ fermions -- like the physical electrons -- on four-coordinated lattices. The construction is applied to fermions defined on the square, kagome and diamond lattices, and we provide explicit expressions for the bosonized versions of well-known models of strongly correlated electrons, like the Hubbard and $t$-$J$ models.

研究动机与目标

• 开发一种高维约旦-外尔变换，使其在玻色子侧保持所有相关对称性——单位性、反单位性和空间对称性。
• 将传统约旦-外尔映射扩展至一维以上，同时保持明显的局域性和精确的统计转换。
• 将晶格玻色化与强关联电子系统中分数化部分子（如自旋子和荷子）的物理联系起来。
• 为正方、钾铁矿和金刚石晶格上的自旋-1/2费米子提供显式的、对称性保持的映射。
• 通过将费米子哈密顿量转化为保持对称性内容的等效玻色子哈密顿量，实现费米子模型的无偏数值和量子模拟。

提出的方法

• 使用每个原胞中最小数量的键构造规范不变的约旦-外尔弦，通过非局域相位因子确保费米子反对易关系。
• 将玻色化的费米子算符定义为从参考位点沿路径延伸的自旋-1/2算符（或部分子）的乘积，其中弦因子确保正确的统计性质。
• 采用广义环路计数法识别关联矩阵 ∂(k) 的零空间，以确定独立规范约束和拓扑扇区的数量。
• 将该构造应用于四价配位晶格（正方、钾铁矿、金刚石），分配特定的键构型以确保与晶格几何和规范不变性的兼容性。
• 通过分析弦算符的变换行为，验证该变换在玻色子侧保持了内部对称性（U(1)电荷、SU(2)自旋、时间反演、粒子-空穴）和空间对称性。
• 显式推导出在每种晶格上 Hubbard 和 t-J 模型的玻色化形式，表明哈密顿量在全对称群下保持局域性和对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将约旦-外尔变换推广至高维，同时在玻色子侧保持所有全局对称性——单位性、反单位性和空间对称性？
• RQ2 规范场和任意子弦在高维费米子系统中实现精确统计转换中起到什么作用？
• RQ3 在二维和三维晶格中，拓扑扇区和威尔逊环路如何约束约旦-外尔弦的结构？
• RQ4 该构造能否系统地应用于不同晶格（正方、钾铁矿、金刚石）且具有四价配位的位点，其玻色化哈密顿量的对称性结果如何？
• RQ5 玻色化描述在多大程度上保留了原始费米子系统的物理量子数和对称性内容？

主要发现

• 所提出的对称约旦-外尔变换在玻色子侧保持了所有全局对称性——U(1)电荷、SU(2)自旋、时间反演和粒子-空穴对称性，从而实现了精确的对称性分辨模拟。
• 在正方晶格上，变换产生一个 3×6 的关联矩阵 ∂(k)，在一般 k 点有三个独立的零向量，而在 k=0 时由于线性相关性减少为四个。
• 在钾铁矿晶格上，∂(k) 的零空间在一般情况下为二维，具有四个独立的环路算符；在 k=0 时，由于简并，零空间维数增加至四。
• 对于金刚石晶格，关联矩阵 ∂(k) 为 2×4，零空间在一般情况下为二维，具有四个满足两个线性关系的环路算符，从而产生 2L³+1 个生成元，包括三个非平凡的威尔逊环路。
• 该构造成功地将这些晶格上的自旋简并 Hubbard 和 t-J 模型映射为保持所有物理对称性和局域性的等效玻色子哈密顿量。
• 该方法在晶格玻色化与部分子图像之间建立了直接联系，使得分数化激发（如自旋子和荷子）在玻色子描述中变得明显。