[论文解读] Symmetric measures of pseudorandomness for binary sequences

Yixin Ren, Arne Winterhof|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2026

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一句话总结

本文比较二进制序列的两种经典伪随机性度量的对称变体与普通变体（2-进位伪和线性复杂度）：对称性在若干设定下可降低度量，并给出界与不变性结果。

ABSTRACT

We compare ordinary and symmetric variants of two classical measures of pseudorandomness for binary sequences, the $2$-adic complexity and the linear complexity. In the periodic setting, we show that for binary periodic sequences constructed from the binary expansions of non-palindromic primes, the symmetric $2$-adic complexity can be strictly smaller than the ordinary $2$-adic complexity. We also give a direct proof (of the known result) that the linear complexity of a periodic binary sequence is invariant under reversal, and hence coincides with its symmetric version. In the aperiodic setting, we provide explicit families of finite binary sequences for which both the $N$th symmetric 2-adic complexity and the $N$th symmetric linear complexity are substantially smaller than their ordinary counterparts. Furthermore, we show that the expected values of the $N$th rational complexity and of the $N$th exponential linear complexity exceed those of their symmetric analogues by at least a term of order of magnitude $N$. Thus, the effect of symmetrization is clearly visible on an exponential scale. We also establish lower bounds for the expected values of the symmetric rational complexity, symmetric $2$-adic complexity, symmetric linear complexity, and symmetric exponential linear complexity.

研究动机与目标

• 了解对称化如何影响二进制序列的众所周知伪随机性度量的机理。
• 在周期性和非周期性情境中研究对称的2-进位复杂度与对称线性复杂度。
• 给出对称与普通度量的显式构造和理论结果的比较。
• 确立对称复杂度度量的不变性性质和下界。

提出的方法

• 比较二进制序列的对称变体与普通变体在2-进位复杂度与线性复杂度上的差异。
• 在周期性情形，分析非回文素数在二进制展开中的序列，以比较对称与普通的2-进位复杂度。
• 证明周期性二进制序列的线性复杂度在翻转下保持不变，因此等于其对称版本。
• 在非周期性情形，构造显式的有限二进制序列，使得对称的2-进位复杂度和对称线性复杂度显著小于普通对应量。
• 推导并讨论对称与普通有理性复杂度与指数线性复杂度的期望值关系，并给出对称变体的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在周期性设定中，对称变体的2-进位和线性复杂度相对于普通变体有何差异？
• RQ2 已知的不变性性质（如翻转下的线性复杂度）是否可推广到对称版本？
• RQ3 在非周期性设定中，对称复杂度是否仍显著小于普通复杂度，差异有多大？
• RQ4 对称有理、对称指数和对称线性复杂度之间的渐近或期望值关系如何？
• RQ5 可为这些度量的对称变体建立哪些下界？

主要发现

• 对称的2-进位复杂度可以严格小于普通的2-进位复杂度，适用于由非回文素数构成的二倍周期序列。
• 周期性二进制序列的线性复杂度在翻转下保持不变，因此等于其对称版本。
• 存在显式的有限二进制序列，在非周期性设定中，其Nth对称2-进位复杂度和Nth对称线性复杂度显著小于普通对应量。
• Nth有理复杂度和Nth指数线性复杂度的期望值，超过其对称同类至少一个数量级的项，表明对称在指数尺度上的显著优势。
• 为若干对称度量的期望值（包括对称有理、对称2-进位、对称线性和对称指数线性复杂度）建立了下界。