[论文解读] Symmetric Morse potential is exactly solvable

Ryu Sasaki|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文证明，通过镜像对称并拼接标准Morse势能的右半部分构造的对称Morse势能，可形成一个具有无穷多个束缚态的精确可解量子力学系统。其本征值为Whittaker W函数及其导数的纯虚零点的平方，为通过特殊函数的谱性质研究Hilbert-Pólya猜想提供了新模型。

ABSTRACT

Morse potential $V_M(x)= g^2\exp (2x)-g(2h+1)\exp(x)$ is defined on the full line, $-\infty

研究动机与目标

• 建立在全实轴上定义的Morse势能镜像对称版本的精确可解性。
• 利用Whittaker函数推导对称Morse势能的完整本征谱系，包括本征值和本征函数。
• 探讨该体系离散谱与黎曼ζ函数纯虚零点之间的联系，以关联Hilbert-Pólya猜想。
• 研究Crum与Krein-Adler变换在生成具有受控本征态的形变哈密顿量中的作用。
• 基于Whittaker函数及其导数的零点，提供本征函数的正交关系。

提出的方法

• 将对称Morse势能构造为 $ V(x) = g^2 e^{2|x|} - g(2h+1)e^{|x|} $，其由原始Morse势能的右半部分与其镜像组合而成。
• 使用Whittaker函数 $ W_{k, u}(x) $ 求解薛定谔方程，其中本征函数以 $ W_{k,i ilde{ u}}( ho) $ 表示，$ \rho = 2g e^{|x|} $。
• 在 $ x = 0 $ 处施加匹配条件与有限范数条件，以确保波函数的自伴性与物理一致性。
• 将本征值识别为 $ W_{k, u}(2g) $ 及其导数 $ W'_{k, u}(2g) $ 的纯虚零点 $ \nu_j = i\tilde{\nu}_j $ 的平方，其中 $ \nu $ 为变量，$ k $ 与 $ g $ 固定。
• 利用Wronskian行列式推导本征函数的正交关系，并分别应用于偶宇称与奇宇称态。
• 利用Crum与Krein-Adler变换，通过在满足范数正性约束下删除指定本征态，生成形变哈密顿量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称Morse势能是否可精确求解？其本征谱结构如何？
• RQ2 对称Morse势能的本征值如何与Whittaker函数及其导数的零点相关联？
• RQ3 Whittaker函数在实现分段解析势能中具有无限离散谱束缚态方面起什么作用？
• RQ4 Crum与Krein-Adler变换如何影响该体系的谱结构与本征函数？
• RQ5 该体系能否作为Hilbert-Pólya猜想中黎曼ζ函数非平凡零点的物理实现或模型？

主要发现

• 对称Morse势能支持无穷多个离散束缚态，其本征函数由Whittaker函数 $ W_{k,i\tilde{\nu}}(\rho) $ 给出，其中 $ \rho = 2g e^{|x|} $。
• 本征值为 $ E_n = \nu_n^2 $，其中 $ \nu_n $ 为 $ W_{k,\nu}(2g) $ 及其导数 $ W'_{k,\nu}(2g) $ 的纯虚零点，作为 $ \nu $ 的函数，$ k $ 与 $ g $ 固定。
• Whittaker函数及其导数的零点呈交错分布：$ 0 < \frac{x}{2} < \nu_0 < \nu_1 < \nu_2 < \nu_3 < \nu_4 < \nu_5 < \nu_6 < \nu_7 < \nu_8 < \nu_9 < \nu_{10} < \nu_{11} < \nu_{12} < \nu_{13} < \nu_{14} < \nu_{15} < \nu_{16} < \nu_{17} < \nu_{18} < \nu_{19} < \nu_{20} $，其中 $ \nu_{2j} = i\tilde{\nu}_j $，$ \nu_{2j+1} = i\tilde{\nu}'_j $。
• 通过Wronskian行列式建立了本征函数的正交关系，偶宇称与奇宇称态分别有不同形式，且在原始与形变哈密顿量体系中均成立。
• 对于大 $ n $，本征值 $ \nu_n $ 的渐近分布由WKB近似或Bohr-Sommerfeld条件导出，导致一个涉及 $ \nu_n $、$ g $ 与 $ k $ 的特定积分方程。
• 通过Crum与Krein-Adler变换生成的形变哈密顿量可在正性约束下移除有限个本征态，从而实现更精细的谱拟合，并可能应用于Hilbert-Pólya猜想。