[论文解读] Symmetric Spaces and Star representations II : Causal Symmetric Spaces

Pierre Bieliavsky, M. Pevzner|arXiv (Cornell University)|May 8, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文在Cayley型的holonomy可约简单辛对称空间上构造了规范星表示，表明它们可指数化为群G的全纯离散系列表示。关键结果通过形变量子化与Jordan代数技巧，实现了Cayley对称空间与管型Hermitian对称空间之间对偶性的非交换几何实现。

ABSTRACT

We construct and identify star representations canonically associated with holonomy reducible simple symplectic symmetric spaces. This leads the a non-commutative geometric realization of the correspondence between causal symmetric spaces of Cayley type and Hermitian symmetric spaces of tube type.

研究动机与目标

• 将holonomy可约辛对称空间上的协变星乘积推广至相关群表示可指数化的情形。
• 建立Cayley对称空间与管型Hermitian对称空间之间代数对偶性的非交换几何实现。
• 通过Jordan代数结构与形变量子化，将星表示与全holomorphic离散系列表示联系起来。
• 证明Cayley对称空间上协变星乘积所关联的星表示，在形变参数的特定取值下，等价于全holomorphic离散系列表示。

提出的方法

• 在holonomy可约简单辛对称空间 $M = G/H$ 的一个余稠密开子集上构造协变星乘积。
• 利用矩映射 $\lambda: \mathfrak{g} \to C^\infty(M)$ 定义强哈密顿系统。
• 通过形变量子化在 $C^\infty(M)[[\nu]]$ 上定义星乘积 $\star_\nu$，其性质在经典极限下保持泊松括号。
• 依赖Jordan代数理论，将对称空间的结构与群 $G$ 的表示理论联系起来。
• 通过向量场与权项的比较，将星表示 $\rho^{L}_\nu$ 与全holomorphic离散系列表示 $d\pi_m$ 的导出作用相联系。
• 利用Wallach集 $\mathcal{W}$ 与公式 $m = \frac{\beta(o,o) + n\nu c}{4\nu r c}$，将形变参数 $\nu$ 与表示参数 $m$ 关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Cayley型holonomy可约辛对称空间上的星表示指数化为群 $G$ 的酉表示？
• RQ2 在 $G/H$ 上的协变星乘积如何与管域 $G/K$ 上的全holomorphic离散系列表示相关联？
• RQ3 Jordan代数在连接Cayley对称空间的几何与群 $G$ 的表示理论中扮演何种角色？
• RQ4 是否存在一种形变量子化，能实现Cayley对称空间与管型Hermitian对称空间之间的对偶性？

主要发现

• 当 $M = G/H$ 为Cayley型时，与协变星乘积 $\star_\nu$ 相关联的星表示 $\rho^{L}_\nu$ 可指数化为 $G$ 的酉表示。
• 当取特定值 $m = \frac{\beta(o,o) + n\nu c}{4\nu r c}$ 时，星表示 $\rho^{L}_\nu$ 等价于导出的全holomorphic离散系列表示 $d\pi_m$。
• 随着 $\nu$ 的变化，$\mathfrak{g}$ 在 $G/H$ 上的无穷小作用连续地变形为在管域 $G/K$ 上的全holomorphic作用，其中 $\nu = -\frac{1}{nc}\beta(o,o)$ 对应该离散系列。
• 该构造通过形变量子化，为Cayley对称空间与管型Hermitian对称空间之间的对偶性提供了非交换几何实现。
• 星表示的向量场部分 $\mathcal{Z}_X^{(\nu)}$ 与 $X$ 在管域上的作用一致，而权项 $\tau_X^{(\nu)}$ 与导出表示 $d\pi_m$ 匹配。
• 星表示有定义的集合 $U \subset V = \mathfrak{l}^\mathbb{C}$ 非空且在 $G$ 下不变，从而允许该表示的指数化。