[论文解读] Symmetric teleparallel general relativity

James M. Nester, Hwei Jang Yo|ArXiv.org|Sep 17, 1998

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用 189

一句话总结

本文提出了一种广义相对论的新形式——对称平行平行广义相对论（STGR），其中时空具有零曲率和零挠率，但非度量性非零，且非度量性承载引力相互作用。通过使用连接系数为零的平行标架，爱因斯坦赝张量变为真正的张量，坐标依赖的计算被提升为几何协变形式，从而为引力提供了一种新的规范场论视角。

ABSTRACT

General relativity can be presented in terms of other geometries besides Riemannian. In particular, teleparallel geometry (i.e., curvature vanishes) has some advantages, especially concerning energy-momentum localization and its ``translational gauge theory'' nature. The standard version is metric compatible, with torsion representing the gravitational ``force''. However there are many other possibilities. Here we focus on an interesting alternate extreme: curvature and torsion vanish but the nonmetricity $ abla g$ does not---it carries the ``gravitational force''. This {\it symmetric teleparallel} representation of general relativity covariantizes (and hence legitimizes) the usual coordinate calculations. The associated energy-momentum density is essentially the Einstein pseudotensor, but in this novel geometric representation it is a true tensor.

研究动机与目标

• 探索广义相对论在黎曼几何和标准平行几何之外的其他几何形式。
• 研究一种对称平行几何，其中曲率和挠率消失，但非度量性非零，且承载引力作用。
• 证明在此框架下，爱因斯坦赝张量变为真正的张量，增强其几何正当性。
• 将广义相对论中的标准坐标依赖计算重新表述为基于新几何规范结构的协变表达式。
• 基于非度量性和对称（零曲率）连接，建立引力的新规范场论解释。

提出的方法

• 采用一般标架场，并在该标架中定义连接系数为零的连接，从而导致零曲率和零挠率。
• 使用连接的分解为Levi-Civita部分与形变部分，将非度量性作为引力的唯一几何来源。
• 将非度量性张量表示为 $ Q_{\mu\nu\lambda} = -g_{\mu\nu,\lambda} $，直接将其与度量的导数联系起来。
• 通过由非度量性构成的Christoffel符号推导拉格朗日密度，得到 $ \mathcal{L} = \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \left( \left\{ \alpha \atop \gamma\mu \right\} \left\{ \gamma \atop \nu\alpha \right\} - \left\{ \alpha \atop \gamma\alpha \right\} \left\{ \gamma \atop \mu\nu \right\} \right) $。
• 证明在此几何中，协变导数因曲率为零而退化为偏导数，从而简化张量微积分。
• 证明能量-动量密度在此几何重构下，从赝张量变为真正的张量。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义相对论能否在曲率为零、挠率为零但非度量性非零的几何中一致地表述？
• RQ2 在这种对称平行平行框架下，引力的能量-动量密度如何变换？
• RQ3 当非度量性取代挠率作为引力势时，爱因斯坦赝张量的几何与物理意义是什么？
• RQ4 在这一新几何设定下，广义相对论中的标准坐标依赖计算在多大程度上可被重述为协变表达式？
• RQ5 该表述是否支持一种基于非度量性而非度量相容性的新规范场论理解引力？

主要发现

• 在对称平行平行广义相对论（STGR）框架中，爱因斯坦赝张量被证明是真正的张量，解决了其在标准广义相对论中长期作为非张量对象的争议。
• 非度量性张量 $ Q_{\mu\nu\lambda} = -g_{\mu\nu,\lambda} $ 在STGR中完全编码了引力相互作用，取代了挠率作为引力的几何载体。
• 在STGR中，由于曲率为零，协变导数退化为偏导数，从而在保持几何协变性的同时简化了张量微积分。
• STGR中的拉格朗日密度形式为 $ \mathcal{L} = \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \left( \left\{ \alpha \atop \gamma\mu \right\} \left\{ \gamma \atop \nu\alpha \right\} - \left\{ \alpha \atop \gamma\alpha \right\} \left\{ \gamma \atop \mu\nu \right\} \right) $，该表达式与早期工作中的已知结果一致，但现具有几何一致的解释。
• 该表述将坐标依赖性从一种标架选择提升为一种几何规范选择，使传统基于坐标的计算在协变框架中获得合法性。