[论文解读] Symmetries and Critical Phenomena in Fluids

Tarek M. Elgindi, In‐Jee Jeong|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 36被引用 9

一句话总结

该论文通过引入离散旋转对称性条件，为二维欧拉方程和表面准地转（SQG）方程建立了新的存在性与唯一性理论，实现了对尺度不变、有界涡度解的适定性分析。论文构造了显式的、时间准周期且紧支集的解，其角导数表现出超线性或指数增长，并将一维模型中的有限时间奇点与Lipschitz SQG解中可能的爆破现象联系起来。

ABSTRACT

We show that given an initial vorticity which is bounded and $m$-fold rotationally symmetric for $m \ge 3$, there is a unique global solution to the 2D Euler equation on the whole plane. That is, in the well-known $L^1 \cap L^\infty$ theory of Yudovich, the $L^1$ assumption can be dropped upon having an appropriate symmetry condition. This contains a class of radially homogeneous solutions to the 2D Euler equation, which gives rise to a new 1D fluid model. We discuss several interesting properties of this 1D system. Using this framework, we construct time quasi-periodic solutions to the 2D Euler equation exhibiting pendulum-like behavior. We also exhibit solutions with compact support for which angular derivatives grow linearly in time or exponential in time (the latter being in the presence of a boundary). A similar study can be done for the surface quasi-geostrophic (SQG) equation. Using the same symmetry condition, we prove local existence and uniqueness of solutions which are merely Lipschitz continuous near the origin - though, without the symmetry, Lipschitz initial data is expected to lose its Lipschitz continuity immediately. Once more, a special class of radially homogeneous solutions is considered and we extract a 1D model which bears great resemblance to the so-called De Gregorio model. We then show that finite-time singularity formation for the 1D model implies finite-time singularity formation in the class of Lipschitz solutions to the SQG equation which are compact support. While the study of special infinite energy solutions to fluid models is classical, this appears to be the first case where they can be embedded into a natural existence/uniqueness class for the equation. Moreover, these special solutions approximate finite-energy solutions for long time and have a direct bearing on the global regularity problem for finite-energy solutions.

研究动机与目标

• 通过引入对称性以替代经典可积性条件，为初始数据有界但未必属于L¹空间的2D欧拉方程与SQG方程建立临界适定性理论。
• 证明在二维欧拉方程中，离散旋转对称性可使有界涡度初始数据实现全局存在性与唯一性，即使不满足L¹可积性条件。
• 通过径向齐次涡度构造尺度不变解，将二维动力学简化为S¹上的1D演化方程。
• 分析该1D系统，展示其具有角导数超线性或指数增长的解，并将该系统的爆破与完整2D欧拉方程和SQG方程中有限时间奇点的形成联系起来。
• 证明对称性可使SQG方程在Lipschitz初始数据下实现局部适定性，否则该类解将立即失去正则性。

提出的方法

• 在涡度上引入离散旋转对称性条件，以替代Yudovich理论中的L¹假设，从而在二维欧拉方程中实现有界涡度的全局存在性与唯一性。
• 定义径向齐次涡度（空间上0次齐次），以构造满足S¹上1D演化方程的尺度不变解。
• 在径向齐次条件下分析由2D欧拉方程导出的1D系统，证明其支持具有摆动行为的准周期解。
• 利用1D模型构造紧支集的2D欧拉解，其角导数在时间上几乎呈二次或指数增长，尤其在边界附近更为显著。
• 对SQG方程，应用相同的对称性框架，证明在临界空间中Lipschitz初始数据的局部适定性，并推导出与De Gregorio方程类似的1D模型。
• 建立爆破准则：若1D模型在有限时间内爆破，则在紧支集Lipschitz解类中，2D SQG方程将发生有限时间奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 若在2D欧拉方程中放弃L¹假设，但引入离散旋转对称性，是否仍可建立有界涡度的全局存在性与唯一性？
• RQ2 在径向齐次条件下，2D欧拉方程的尺度不变解会表现出何种动力学行为？是否可呈现准周期运动？
• RQ3 在径向齐次2D欧拉解的1D约化系统中，梯度增长是否可为超线性或指数型？其对完整2D动力学有何影响？
• RQ4 若SQG方程的1D模型在有限时间内爆破，是否意味着在紧支集Lipschitz初始数据类中，2D SQG方程将发生有限时间奇点？
• RQ5 对称性方法能否推广至其他活动标量方程（如3D欧拉或SQG）？其对全局正则性问题有何启示？

主要发现

• 具有离散旋转对称性的有界涡度类，是2D欧拉方程的全局存在性与唯一性类，即使不满足L¹可积性。
• 显式例子表明，若无此类对称性，则唯一性不成立，从而证实该对称性条件对适定性结果的必要性。
• 径向齐次涡度导致S¹上的1D演化，该系统支持具有摆动行为的时间准周期解。
• 在此框架下，紧支集2D欧拉解的角导数在时间上表现出几乎二次或指数增长，尤其在边界附近更为显著。
• 对SQG方程，对称性条件使Lipschitz初始数据的局部适定性成为可能，否则该类解将立即失去正则性。
• SQG方程1D模型的有限时间爆破，意味着在紧支集Lipschitz解类中，2D SQG方程将发生有限时间奇点。