[论文解读] Symmetries in Linear and Integer Programs

Katrin Herr, Herr, K.|ArXiv.org|Aug 23, 2009

Optimization and Packing Problems参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文提出一种基于群论的方法，通过基于对称性的重构来降低线性规划和整数规划的问题维度，从而利用对称性。证明了最优解始终存在于对称群的不动点集中，并提出一种算法，推导出原问题的低维收缩映射，实现基于轨道结构的维数约减，从而高效求解。

ABSTRACT

The notion of symmetry is defined in the context of Linear and Integer Programming. Symmetric linear and integer programs are studied from a group theoretical viewpoint. We show that for any linear program there exists an optimal solution in the fixed point set of its symmetry group. Using this result, we develop an algorithm that allows for reducing the dimension of any linear program having a non-trivial group of symmetries.

研究动机与目标

• 通过群论形式化对称性在线性规划和整数规划中的作用。
• 解决由对称整数规划带来的计算挑战，这类问题因冗余搜索路径而降低分支定界法的效率。
• 开发一种通用的代数化对称性约减方法，避免依赖分支定界启发式方法。
• 证明对称线性规划的最优解位于其对称群的不动点集中。
• 提供一种预处理算法，通过利用轨道结构降低对称线性规划的维度。

提出的方法

• 将线性规划的对称性定义为保持约束矩阵和目标向量不变的变量置换。
• 将对称群形式化为作用于变量索引上的对称群的子群。
• 通过使用基于轨道代表元构造的矩阵 $ M_r $，将原问题投影到对称群的不动点空间，从而构建原问题的收缩映射。
• 利用轨道-稳定化子定理确定轨道数量，该数量决定了约减后问题的维度。
• 证明原线性规划的最优解可通过对低维收缩映射的解使用矩阵 $ M_r $ 恢复。
• 若约减后的问题仍存在进一步对称性，则可迭代应用该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以系统性地利用线性规划中的对称性，在不改变最优解的前提下降低问题维度？
• RQ2 每个具有对称性的线性规划是否都存在一个在其完整对称群作用下不变的最优解？
• RQ3 能否开发一种通用的代数化方法，独立于特定优化启发式方法，实现对称线性规划的约减？
• RQ4 对称群的轨道数量与约减后问题的维度之间有何关系？
• RQ5 对称性约减技术在多大程度上可迭代应用，以进一步简化对称整数规划？

主要发现

• 任何具有非平凡对称群的线性规划，其最优解必定位于该群的不动点集中。
• 约减后问题的维度仅取决于对称群的轨道数量，而不依赖于群的内部结构。
• 原线性规划的最优解可通过使用矩阵 $ M_r $ 从低维收缩映射的解中重构，该矩阵将轨道代表元映射回原始变量。
• 该算法通过用保持最优性的对称性约减版本替代原问题，实现维度约减。
• 该方法具有通用性且面向预处理，适用于任何具有非平凡对称性的线性规划，且不依赖于分支定界启发式方法。
• 即使在约减后，所得问题仍可能表现出对称性，从而允许迭代应用该算法以实现进一步简化。