[论文解读] Symmetries of the equations of motion that are not shared by the Lagrangian

G. F. Torres del Castillo, Alhan Moreno-Ruiz|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Geotechnical and Geomechanical Engineering参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文证明了在某些变换下，即使对应的拉格朗日量不保持不变，运动方程仍可保持形式不变。其关键贡献在于证明了标准诺特定理逻辑的逆命题：运动方程的对称性并不意味着拉格朗日量的不变性，文中在机械系统和场论中均给出了明确例子，包括一个对洛伦兹变换非不变的无源麦克斯韦方程的拉格朗日量，却仍能导出洛伦兹协变的运动方程。

ABSTRACT

We show that if a Lagrangian is invariant under a transformation (with the invariance defined in the standard manner), then the equations of motion obtained from it maintain their form under the transformation. We also show that the converse is not true, giving examples of equations of motion that are form-invariant under a transformation, but these equations can be derived from a Lagrangian that is not invariant under such transformation. The conclusions are valid for discrete or continuous systems.

研究动机与目标

• 澄清运动方程对称性与对应拉格朗日量对称性之间的关系，尤其针对教科书中广泛存在的误解。
• 证明在某一变换下运动方程的形式不变性，并不要求拉格朗日量在相同变换下保持不变。
• 提供明确反例，说明在离散与连续系统中，运动方程可具有对称性而拉格朗日量却不具有。
• 表明在相对论性场论（如麦克斯韦方程）中，即使拉格朗日量在洛伦兹变换下不保持不变，仍可导出洛伦兹协变的运动方程。

提出的方法

• 将坐标变换 (q′, t′) 下运动方程的不变性定义为：在新变量中，方程的函数形式保持不变。
• 使用标准的欧拉-拉格朗日形式化方法，从拉格朗日量 L(qi, q̇i, t) 推导运动方程，将变量视为独立变量。
• 引入一个变换后的拉格朗日量 L′，通过 dt/dt′ 考虑时间重参数化，以确保所得运动方程保持等价。
• 应用拉格朗日量在变换下不变性的条件：L′(q′i, q̇′i, t′) = L(qi, q̇i, t) × (dt/dt′)，该条件可保持动力学不变。
• 通过分析无穷小洛伦兹变换，检验无源麦克斯韦场非标准拉格朗日密度在洛伦兹变换下的不变性。
• 利用张量微积分和列维-奇维塔符号恒等式，证明拉格朗日量在洛伦兹提升下的变分无法表示为全微分，从而证明其非不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使在某一变换下拉格朗日量不保持不变，运动方程是否仍可保持形式不变？
• RQ2 标准诺特定理结果的逆命题是否成立：运动方程的对称性是否意味着拉格朗日量的不变性？
• RQ3 一个在洛伦兹变换下不保持不变的拉格朗日量，是否仍可导出电磁场的洛伦兹协变运动方程？
• RQ4 是否存在场论中的例子，其规范不变的拉格朗日密度不具有时空对称性（如洛伦兹提升）的不变性？

主要发现

• 由拉格朗日量导出的运动方程，在任何使拉格朗日量保持不变的变换下，总是保持形式不变，这证实了教科书中的标准结论。
• 其逆命题不成立：即使拉格朗日量在某一变换下不保持不变，运动方程仍可在该变换下保持形式不变。
• 文中给出一个明确例子：无源麦克斯韦方程的拉格朗日量在洛伦兹提升下不保持不变，但其导出的运动方程却是洛伦兹协变的。
• 通过证明拉格朗日量在洛伦兹变换下的变分无法表示为全微分，从而证明其非不变性，这违反了不变性的必要条件。
• 本文提供了一种仅使用 E 和 B 场的麦克斯韦方程的非拉格朗日形式化，该形式具有规范无关性，避免了基于势能形式化可能带来的问题。
• 该结果表明，在场论中寻找基本对称性时，不应仅局限于拉格朗日量，因为运动方程可能表现出拉格朗日量所不具备的对称性。