[论文解读] Symmetries of the transfer operator for $\Gamma_0(N)$ and a character deformation of the Selberg zeta function for $\Gamma_0(4)$

Markus Szymon Fraczek, Dieter Mayer|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文在 Selberg 的特征变形 $χ_\alpha$ 下，为 Hecke 同余子群 $Γ_0(4)$ 的转移算子建立了对称性，将约化转移算子的特征函数与在对合下具有确定奇偶性的 Maass 形式联系起来。论文证明，在特征变形下，对应于特征值 $\lambda = -1$ 的 Selberg zeta 函数的零点仍位于临界线 $\Re(\beta) = 1/2$ 上，而对应于 $\lambda = +1$ 的零点则根据数值证据以及 Sarnak 和 Phillips 关于 cusp 形式在变形下的结果，预计会离开该线。

ABSTRACT

The transfer operator for [math] and trivial character [math] possesses a finite group of symmetries generated by permutation matrices [math] with [math] . Every such symmetry leads to a factorization of the Selberg zeta function in terms of Fredholm determinants of a reduced transfer operator. These symmetries are related to the group of automorphisms in [math] of the Maass wave forms of [math] . For the group [math] and Selberg’s character [math] there exists just one nontrivial symmetry operator [math] . The eigenfunctions of the corresponding reduced transfer operator with eigenvalue [math] are related to Maass forms that are even or odd, respectively, under a corresponding automorphism. It then follows from a result of Sarnak and Phillips that the zeros of the Selberg function determined by the eigenvalue [math] of the reduced transfer operator stay on the critical line under deformation of the character. From numerical results we expect that, on the other hand, all the zeros corresponding to the eigenvalue [math] are off this line for a nontrivial character [math] .

研究动机与目标

• 研究 Selberg 特征 $χ_\alpha$ 变形下 $Γ_0(4)$ 的 Selberg zeta 函数零点行为。
• 识别 $Γ_0(N)$ 的转移算子的对称性，并将其与 Maass 波形式的自同构联系起来。
• 通过由这些对称性诱导的约化转移算子的 Fredholm 衍生行列式，分析 Selberg zeta 函数的因式分解。
• 确定 Selberg zeta 函数的零点在特征变形下是否仍位于临界线上，尤其区分偶与奇 Maass 形式。

提出的方法

• 使用测地流的符号动力学，为 $Γ_0(4)$ 构造带特征 $χ_\alpha$ 的转移算子 $L_{\beta,\chi_\alpha}$。
• 识别转移算子的一个非平凡对称算子 $\tilde{P}_{2,-}$，其通过置换矩阵 $P_{2,-}$ 定义，满足 $P_{2,-}^2 = \text{id}_6$。
• 利用该对称性约化转移算子为 $P_{2,-}L^+_{\beta,\chi_\alpha}$，其特征函数对应于在对合 $J_{2,-}$ 下为偶或奇的 Maass 形式。
• 推导 Maass 形式在自同构 $J_{2,-}$ 作用下的周期函数的函数方程，从而导出编码变换的矩阵 $Q_{2,-}$。
• 定义对称矩阵 $P_{2,-} = \rho_{\chi_\alpha}(S) Q_{2,-}$，其与 $\Gamma_0(4)$ 的生成元 $S$ 和 $T$ 的表示 $\rho_{\chi_\alpha}$ 交换。
• 利用 Sarnak 和 Phillips 的结果，得出与 $\lambda = -1$ 特征函数相关的零点在特征变形下仍位于临界线上。

实验结果

研究问题

• RQ1 Γ_0(N) 的转移算子的对称性如何导致 Selberg zeta 函数的因式分解？
• RQ2 Maass 波形式的自同构与 Γ_0(N) 的转移算子的对称性之间有何关系？
• RQ3 在 $\chi_\alpha$ 变形下，$Γ_0(4)$ 的 Selberg zeta 函数的零点是否仍位于临界线上？
• RQ4 约化转移算子的特征值 $\lambda = \pm 1$ 如何与在对合 $J_{2,-}$ 下 Maass 形式的奇偶性相关联？

主要发现

• 带特征 $\chi_\alpha$ 的 $Γ_0(4)$ 的转移算子具有一个由置换矩阵 $P_{2,-}$ 定义的非平凡对称性 $\tilde{P}_{2,-}$，满足 $P_{2,-}^2 = \text{id}_6$，且与群生成元的表示 $\rho_{\chi_\alpha}$ 交换。
• 约化转移算子 $P_{2,-}L^+_{\beta,\chi_\alpha}$ 的特征函数，其特征值 $\lambda = \pm 1$，分别对应于在对合 $J_{2,-}$ 下为偶或奇的 Maass 形式。
• 与 $\lambda = -1$ 特征函数相关的 Selberg zeta 函数的零点，在所有 $\alpha$ 下仍位于临界线 $\Re(\beta) = 1/2$ 上，此结论由 Sarnak 和 Phillips 关于奇 Maass cusp 形式在特征变形下的结果确立。
• 数值证据表明，当 $\alpha > 0$ 时，与 $\lambda = +1$ 特征函数相关的零点会离开临界线，尽管本文未对此进行证明。
• $P_{2,-}$ 明确定义为一个 $6 \times 6$ 置换矩阵，对应于置换 $\lambda_{2,-} \circ \sigma \circ \delta = (1\ 4)(2\ 6)(3\ 5)$，其特征值满足 $\chi_\alpha(\eta_3) = \chi_\alpha(\eta_5)^{-1} = e^{-2\pi i \alpha}$。
• 周期函数的函数方程导出变换 $J_{-}\psi_j(\zeta) = \zeta^{-2\beta} \chi_\alpha(\eta_{\sigma \circ \delta(j)}) \psi_{\lambda,\pm, \sigma \circ \delta(j)}(1/\zeta)$，该式构成了对称结构的基础。