[论文解读] Symmetries of vector fields: the diffeomorphism centralizer

Davi Obata|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文证明，对于紧流形上具有至多有限个Sink或Source的C¹-泛用向量场，微分同胚中心化子——即与流交换的所有C¹-微分同胚的集合——是拟平凡的，这意味着每个此类微分同胚都是流的时间重参数化。若该向量场至多有可数个链递归类，则中心化子是平凡的，即仅由流自身生成。

ABSTRACT

In this paper we study the diffeomorphism centralizer of a vector field: given a vector field it is the set of diffeomorphisms that commutes with the flow. Our main theorem states that for a $C^1$-generic diffeomorphism having at most finitely many sinks or sources, the diffeomorphism centralizer is quasi-trivial. In certain cases, we can promote the quasi-triviality to triviality. We also obtain a criterion for a diffeomorphism in the centralizer to be a reparametrization of the flow.

研究动机与目标

• 研究C¹向量场的微分同胚中心化子结构，定义为与流交换的所有C¹-微分同胚的集合。
• 确定该中心化子是否为拟平凡（每个元素均为流的时间重参数化）或平凡（具有常数时间平移的重参数化）。
• 将此前针对微分同胚建立的泛用平凡性结果，推广至向量场及其流的设定。
• 提供一个判别准则，用于判断中心化子中的微分同胚是否为流的时间重参数化。
• 解决流的Smales中心化子问题的类比问题，即C¹-泛用向量场的中心化子是否为平凡或拟平凡。

提出的方法

• 将向量场X的C¹-微分同胚中心化子定义为所有满足f∘Xₜ = Xₜ∘f对所有t∈ℝ成立的C¹-微分同胚f的集合。
• 采用拟平凡性的概念：f属于中心化子当且仅当存在连续时间函数t(x)，使得f(x) = Xₜ(x)。
• 通过稳定流形上的极限论证以及线性Poincaré流，证明对于具有有限个Sink或Source的C¹-泛用向量场，中心化子是拟平凡的。
• 利用LND（极限非退化）性质和C¹-范数控制，建立时间重参数化函数τ的统一有界性。
• 证明：若链递归类的数量至多可数，则连续时间函数τ必为常数，从而推出平凡性。
• 利用非游荡集的稠密性与轨道动力学，将局部的重参数化恒等式整体延拓。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有至多有限个Sink或Source的C¹-泛用向量场的C¹-微分同胚中心化子是否为拟平凡？
• RQ2 在何种附加条件下，中心化子的拟平凡性可推出平凡性？
• RQ3 中心化子中的微分同胚能否被表征为流的时间重参数化？
• RQ4 向量场中心化子与微分同胚中心化子的结构有何差异？
• RQ5 在Axiom A或截面Axiom A类中的C¹-泛用向量场，其中心化器是否表现出平凡性？

主要发现

• 存在一个C¹-余稠密子集𝒪 ⊂ 𝒳¹(M)，使得对任意X ∈ 𝒪且具有至多有限个Sink或Source的情况，X的C¹-微分同胚中心化器是拟平凡的。
• 若X ∈ 𝒪具有至多可数个链递归类，则X的C¹-微分同胚中心化器是平凡的。
• 对于紧曲面上的C¹-泛用Axiom A向量场，中心化器是平凡的，从而推广了Peixoto的Morse-Smale结果。
• C¹-泛用Axiom A向量场具有平凡的C¹-微分同胚中心化器。
• C¹-泛用截面Axiom A向量场的中心化器是平凡的。
• 该结果可推广至三维中远离同宿切线的C¹-向量场，符合三维Palis猜想。