[论文解读] Symmetrized poly-Bernoulli numbers and combinatorics

Toshiki Matsusaka|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文建立了一个新的组合恒等式，将对称化多伯努利数与杜蒙-福阿塔多项式联系起来，证明了在整数点 $k$ 处，对称化多伯努利数的交错和等于 $k! \cdot (-1)^{n/2} G_n(1,1,k)$，其中 $G_n(1,1,k)$ 是在 $x=y=1, z=k$ 处取值的第 $n$ 个杜蒙-福阿塔多项式。该结果推广了涉及基因科奇数的已知恒等式，并为整数参数下多伯努利数的对角和提供了统一的组合解释。

ABSTRACT

Poly-Bernoulli numbers are one of generalizations of the classical Bernoulli numbers. Since a negative index poly-Bernoulli number is an integer, it is an interesting problem to study this number from combinatorial viewpoint. In this short article, we give a new combinatorial relation between symmetrized poly-Bernoulli numbers and the Dumont-Foata polynomials.

研究动机与目标

• 为整数 $k \geq 0$ 时多伯努利数的对角和提供组合解释，扩展已知的 $k=0$ 和 $k=1$ 情况的结果。
• 解决萨库赖提出的问题：将阿拉卡瓦-金泽和神田-萨库赖-津村恒等式推广到任意正整数 $k$。
• 建立对称化多伯努利数与杜蒙-福阿塔多项式 $G_n(x,y,z)$ 之间精确的代数与组合关系。

提出的方法

• 通过显式公式定义对称化多伯努利数 $\mathscr{B}_m^{(-\ell)}(k)$，其中涉及第二类斯特林数与阶乘。
• 利用斯特林数的生成函数恒等式分析交错和 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell \mathscr{B}_{n-\ell}^{(-\ell)}(k)$。
• 引入辅助函数 $\tilde{G}_n(k) = \frac{(-1)^{n/2}}{k!} \sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell \mathscr{B}_{n-\ell}^{(-\ell)}(k)$ 以检验其是否满足递推关系。
• 证明 $\tilde{G}_n(k)$ 满足与甘地多项式 $G_n(z)$ 相同的递推关系，即 $G_{n+2}(z) = z(z+1)G_n(z+1) - z^2 G_n(z)$，初始条件为 $G_0(z)=1$，$G_1(z)=0$。
• 通过生成函数操作与系数提取，证明该和在递推下消失，从而确认恒等式成立。
• 利用杜蒙-福阿塔多项式 $G_n(x,y,z)$ 的已知性质，包括其对称性及通过手枪（满足约束的满射映射）的组合解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将对角和恒等式 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell B_{n-\ell}^{(-\ell-1)}(1) = (-1)^{n/2} G_n$ 推广到任意非负整数 $k$？
• RQ2 在整数 $k$ 处，交错和 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell \mathscr{B}_{n-\ell}^{(-\ell)}(k)$ 是否具有组合解释？
• RQ3 对称化多伯努利数 $\mathscr{B}_m^{(-\ell)}(k)$ 是否存在一个统一的组合模型，能统一处理 $k=0$ 和 $k=1$ 的情况？
• RQ4 杜蒙-福阿塔多项式 $G_n(x,y,z)$ 的递推结构能否用于推导多伯努利数的新恒等式？

主要发现

• 主要结果为恒等式 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell \mathscr{B}_{n-\ell}^{(-\ell)}(k) = k! \cdot (-1)^{n/2} G_n(1,1,k)$ 对所有 $n,k \geq 0$ 成立，当 $n$ 为奇数时两边均为零。
• 当 $k=1$ 时，该恒等式恢复了已知结果 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell B_{n-\ell}^{(-\ell-1)}(1) = (-1)^{n/2} G_n$，因为 $\mathscr{B}_m^{(-\ell)}(1) = B_m^{(-\ell-1)}(1)$ 且 $G_n(1,1,1) = G_n$。
• 当 $k=0$ 时，该恒等式也恢复了阿拉卡瓦-金泽恒等式 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell B_{n-\ell}^{(-\ell)}(0) = 0$（$n > 0$），因为 $\mathscr{B}_m^{(-\ell)}(0) = B_m^{(-\ell)}(0)$ 且当 $n > 0$ 时 $G_n(1,1,0) = 0$。
• 证明的关键在于表明归一化和 $\tilde{G}_n(k)$ 满足与甘地多项式 $G_n(z)$ 相同的递推关系，从而通过生成函数技术确认恒等式成立。
• 系数 $a_{n,j} = \sum_{\ell=j}^{n-j} (-1)^\ell \left\{ \begin{smallmatrix} n-\ell+1 \\ j+1 \end{smallmatrix}\right\} \left\{ \begin{smallmatrix} \ell+1 \\ j+1 \end{smallmatrix}\right\}$ 在 $n$ 为奇数时为零，并满足递推关系 $a_{n+2,j} = (j+1)^2 a_{n,j} - a_{n,j-1}$，这是证明的关键。
• 对称化多伯努利数 $\mathscr{B}_m^{(-\ell)}(k)$ 的显式表达式为 $\sum_{j=0}^{\min(m,\ell)} j!(k+j)! \left\{ \begin{smallmatrix} m+1 \\ j+1 \end{smallmatrix}\right\} \left\{ \begin{smallmatrix} \ell+1 \\ j+1 \end{smallmatrix}\right\}$，该表达式支持了证明中的代数运算。