[论文解读] Symmetry adaptation in quantum chemistry calculations on a quantum computer

Ilya G. Ryabinkin, Scott N. Genin|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文提出了三种对称性适应技术——对称性投影、光谱位移和光谱反射——通过将粒子数和自旋对称性直接嵌入到量子比特哈密顿量中，以防止在量子计算机上进行量子化学计算时出现对称性破缺。光谱位移方法通过惩罚不符合对称性的态来实现，被证明是最高效的，其算符长度与原始哈密顿量相同，适用于粒子数适应，且在计算成本方面优于其他方法。

ABSTRACT

Quantum chemistry calculations on a quantum computer frequently suffer from symmetry breaking: the situation when a state of assumed spin and number of electrons is contaminated with contributions of undesired symmetry. The situation may even culminate in convergence to a state of completely unexpected symmetry, e.g. that of for a neutral species while a cation was expected. Previously, the constrained variational quantum eigensolver (CVQE) approach was proposed to alleviate this problem [Ryabinkin et al. (2018), J. Chem. Theory Comput. DOI:10.1021/acs.jctc.8b00943] here we analyze alternative, more robust solutions. In particular, we investigate how symmetry information can be incorporated directly into qubit Hamiltonians. We identify three essentially different techniques, the symmetry projection, spectral shift, and spectral reflection methods, which are all capable of solving the problem albeit at different computational cost, measured as the length of the resulting qubit operators. On the examples of LiH and H$_2$O molecules we show that the spectral shift method, which is equivalent to penalizing states of wrong symmetry, is the most efficient, followed by spectral reflection, and symmetry projection.

研究动机与目标

• 为解决在量子计算机上使用变分量子本征求解器（VQE）计算时出现的对称性破缺问题，即错误地获得电子数或自旋对称性不正确的态。
• 开发直接将精确对称性（如粒子数和自旋）嵌入到量子比特哈密顿量中的方法，以确保收敛到物理上有意义的态。
• 通过测量所得量子比特算符的长度，比较对称性适应哈密顿量的计算成本。
• 识别出在近期量子设备中最小化电路深度和资源开销的最高效对称性适应方法。

提出的方法

• 光谱位移方法通过添加与对称性算符平方成正比的项（例如，$\mu(\hat{N} - n)^2$）来惩罚不符合对称性的态，将其能量移至谱的顶部。
• 对称性投影方法使用Löwdin投影将哈密顿量投影到期望的对称子空间，从而有效去除不希望的态的贡献。
• 光谱反射（Huzinaga风格）方法对哈密顿量进行变换，使得不符合对称性的态被反射到高正能区域，使其在能量上变得不利。
• 所有方法均应用于二次量化电子哈密顿量，并使用Jordan-Wigner或Bravyi-Kitaev变换映射到量子比特哈密顿量。
• 通过比较LiH和H₂O等分子的量子比特哈密顿量中保罗i项的数量（算符长度）来评估每种方法的性能。
• 分析涵盖粒子数和自旋对称性适应，特别关注自旋单重态情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效将对称性信息嵌入到量子比特哈密顿量中，以防止在量子化学模拟中收敛到对称性不正确的态？
• RQ2 不同对称性适应技术在所得算符长度和计算成本方面如何比较？
• RQ3 是否存在一种方法，能在施加对称性约束的同时，保持与原始哈密顿量相同的算符大小？
• RQ4 为何Huzinaga风格的光谱反射方法在性能上劣于光谱位移方法，尽管其形式上更简单？
• RQ5 在何种条件下，约束优化比对称性适应哈密顿量构建更高效？

主要发现

• 光谱位移方法产生的量子比特算符最短，在粒子数适应时，其项数与原始哈密顿量相同，这是由于$\hat{N}$算符的一体粒子特性所致。
• 对于自旋对称性，光谱位移方法仍优于对称性投影和光谱反射方法，尽管算符长度的增加幅度比粒子数情况更显著。
• Huzinaga风格的光谱反射方法在单重态投影中产生的项数约为光谱位移方法的三倍，尽管其形式上为四体算符结构。
• 对称性投影方法始终产生最长的算符，因此效率最低，不适合在近期量子算法中普遍使用。
• 光谱位移方法以最小的开销实现了有效的对称性强制，因此是近期量子化学模拟中最实用的选择。
• 对于单重态计算，约束优化方法（如文献10中所述）仍比三种提出的对称性适应哈密顿量方法更高效。