[论文解读] Symmetry as a shadow of topological order and a derivation of topological holographic principle

Arkya Chatterjee, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2022

Space Science and Extraterrestrial Life被引用 11

一句话总结

本文提出了一种对称性/拓扑序（Symm/TO）对应关系，表明有限（高阶）对称性——包括异常的、非可逆的以及引力异常——均可由非退化的辫子融合n-范畴完全描述，这些范畴对应于高一维的拓扑序。该研究推导出拓扑全息原理：局域边界算符代数唯一确定了体内的拓扑序，从而在基于算符代数和透明补丁算符的范畴框架下，统一了多种对称类型。

ABSTRACT

Symmetry is usually defined via transformations described by a (higher) group. But a symmetry really corresponds to an algebra of local symmetric operators, which directly constrains the properties of the system. In this paper, we point out that the algebra of local symmetric operators contains a special class of extended operators -- transparent patch operators, which reveal the selection sectors and hence the corresponding symmetry. The algebra of those transparent patch operators in $n$-dimensional space gives rise to a non-degenerate braided fusion $n$-category, which happens to describe a topological order in one higher dimension (for finite symmetry). Such a holographic theory not only describes (higher) symmetries, it also describes anomalous (higher) symmetries, non-invertible (higher) symmetries (also known as algebraic higher symmetries), and non-invertible gravitational anomalies. Thus, topological order in one higher dimension, replacing group, provides a unified and systematic description of the above generalized symmetries. This is referred to symmetry/topological-order (Symm/TO) correspondence. Our approach also leads to a derivation of topological holographic principle: \emph{boundary uniquely determines the bulk}, or more precisely, the algebra of local boundary operators uniquely determines the bulk topological order. As an application of the Symm/TO correspondence, we show the equivalence between $\mathbb{Z}_2 imes \mathbb{Z}_2$ symmetry with mixed anomaly and $\mathbb{Z}_4$ symmetry, as well as between many other symmetries, in 1-dimensional space.

研究动机与目标

• 在单一框架下统一有限（高阶）对称性，包括异常对称性和非可逆对称性。
• 表明局域对称算符代数，特别是透明补丁算符，编码了超越群定义的对称性完整结构。
• 推导出拓扑全息原理：边界算符代数唯一确定体内的拓扑序。
• 通过Symm/TO对应关系，证明1D系统中不同对称类型（如具有混合异常的ℤ₂×ℤ₂与ℤ₄）的等价性。

提出的方法

• 引入透明补丁算符作为局域对称算符（LSOs）代数中的扩展算符，揭示隐藏的对称选择子空间。
• 在n维空间中构建透明补丁算符代数，证明其形成非退化的辫子融合n-范畴。
• 运用算符代数技术，推导有限对称性与高一维中拓扑序之间的对应关系。
• 将该框架应用于1D系统，通过同构的辫子融合范畴，证明具有混合异常的ℤ₂×ℤ₂与ℤ₄对称性的等价性。
• 利用t-补丁算符（如弦状和膜状算符）编码融合与辫子规则，以代数方式捕捉对称性质。
• 证明对称变换在表征相态时是冗余的；仅有局域对称算符代数及其扩展形式才是本质要素。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限（高阶）对称性，包括异常和非可逆对称性，如何能在单一数学框架下系统统一？
• RQ2 透明补丁算符在揭示局域对称算符代数中隐藏的代数结构方面起什么作用？
• RQ3 n维空间中局域对称算符代数如何与(n+1)维的拓扑序相关联？
• RQ4 能否从局域算符代数结构推导出拓扑全息原理，使得边界唯一确定体内的拓扑序？
• RQ5 在1D系统中，具有混合异常的ℤ₂×ℤ₂与ℤ₄对称类型之间的精确数学对应关系是什么？

主要发现

• n维空间中透明补丁算符的代数形成非退化的辫子融合n-范畴，对应于(n+1)维的拓扑序。
• 有限对称性，包括异常和非可逆（代数）对称性，完全由非退化的辫子融合n-范畴分类，统一了此前不同的对称类型。
• 推导出拓扑全息原理：局域边界算符代数唯一确定体内的拓扑序。
• 在1D中，具有混合异常的ℤ₂×ℤ₂对称性通过同构的辫子融合范畴被证明与ℤ₄对称性等价。
• 该框架揭示，对称性并非由群变换定义，而是由局域对称算符及其扩展形式的代数决定，对称荷编码于透明补丁算符中。
• 研究表明，基于群的对称性描述是不足的；范畴结构（辫子融合范畴）提供了更基础且普适的描述。