[论文解读] Symmetry breaking operators for strongly spherical reductive pairs and the Gross-Prasad conjecture for complex orthogonal groups

Jan Möllers|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文为强球对称的半单对 $(G,H)$ 构造了全纯对称性破缺算子，证明其在一般情况下张成球形主系列表示之间 $H$- intertwining 算子的空间。本文证明了复正交群的 Gross-Prasad 猜想，并通过显式构造和重数公式，为 Shintani 函数空间建立了下界。

ABSTRACT

A real reductive pair $(G,H)$ is called strongly spherical if the homogeneous space $(G imes H)/{ m diag}(H)$ is real spherical. This geometric condition is equivalent to the representation theoretic property that ${ m dim\,Hom}_H(\pi|_H, au)<\infty$ for all smooth admissible representations $\pi$ of $G$ and $ au$ of $H$. In this paper we explicitly construct for all strongly spherical pairs $(G,H)$ intertwining operators in ${ m Hom}_H(\pi|_H, au)$ for $\pi$ and $ au$ spherical principal series representations of $G$ and $H$. These so-called extit{symmetry breaking operators} depend holomorphically on the induction parameters and we further show that they generically span the space ${ m Hom}_H(\pi|_H, au)$. In the special case of multiplicity one pairs we extend our construction to vector-valued principal series representations and obtain generic formulas for the multiplicities between arbitrary principal series. As an application, we prove the Gross-Prasad conjecture for complex orthogonal groups, and also provide lower bounds for the dimension of the space of Shintani functions.

研究动机与目标

• 为强球对称半单对 $(G,H)$ 定义并构造对称性破缺算子，其中齐性空间 $(G \times H)/{\rm diag}(H)$ 是实球对称的。
• 证明这些算子在诱导参数下全纯，并在一般情况下张成球形主系列表示之间的空间 ${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$。
• 将构造方法扩展到重数为一情况下的向量值主系列表示，从而获得重数的通用公式。
• 将结果应用于证明复正交群的 Gross-Prasad 猜想。
• 推导出 Shintani 函数空间维数的下界。

提出的方法

• 通过几何条件定义强球对称半单对，即要求 $(G \times H)/{\rm diag}(H)$ 为实球对称，等价于 $H$-互化空间为有限维。
• 为 $G$ 的球形主系列表示 $\pi$ 和 $H$ 的表示 $\mu$，在 ${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$ 中显式构造互化算子。
• 证明这些对称性破缺算子关于诱导参数全纯，从而确保分析上的控制。
• 使用表示论技巧证明算子在一般情况下张成全部 $H$-互化映射空间。
• 在重数为一的情形下将构造方法扩展至向量值主系列表示，推导出重数的通用公式。
• 通过验证复正交群的预期重数结构，将结果应用于 Gross-Prasad 猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有强球对称半单对 $(G,H)$，对称性破缺算子是否存在，且能否显式构造？
• RQ2 这些算子是否关于主系列表示的诱导参数全纯依赖？
• RQ3 所构造的算子是否在一般情况下张成球形主系列表示之间的空间 ${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$？
• RQ4 该构造能否在重数为一的情况下扩展至向量值主系列表示，从而获得重数的通用公式？
• RQ5 该框架是否能证明复正交群的 Gross-Prasad 猜想？

主要发现

• 本文为所有强球对称半单对 $(G,H)$ 构造了全纯对称性破缺算子，为球形主系列表示在 ${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$ 中提供了显式实现。
• 这些算子在一般情况下张成 $H$-互化映射空间，确立了在一般情形下的完备性。
• 在重数为一的情形下，构造可扩展至向量值主系列表示，从而获得任意主系列表示之间重数的通用公式。
• 作者利用所发展的框架证明了复正交群的 Gross-Prasad 猜想。
• 本文通过对手征性破缺算子的表示论分析，为 Shintani 函数空间的维数建立了下界。